Considere a função $f: §^* ightarrow §$, tal que: $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x}$. Quais números do domínio de $f$ possuem como imagem o número 4?

Alternativa C

O objetivo da questão é encontrar os valores de x no domínio da função para os quais o resultado da função (a imagem) seja igual a 4. Isso significa que devemos resolver a equação f(x) = 4.

A função dada é f(x) = \frac{x^2+3}{x}. O domínio é \mathbb{R}^*, ou seja, todos os números reais exceto zero (x \neq 0), pois não podemos dividir por zero na definição da função.

Para encontrar os valores procurados, substituímos f(x) por 4 na equação:

Multiplicando ambos os lados por x (lembrando que x \neq 0):

Reorganizando os termos para formar uma equação quadrática padrão (ax^2 + bx + c = 0):

Para resolver esta equação, podemos usar o método de fatoração. Precisamos de dois números que multiplicados resultem em 3 e somados resultem em -4. Esses números são -1 e -3. Portanto:

Isso nos dá duas raízes possíveis:

Ambos os valores pertencem ao domínio da função (são reais e diferentes de zero). Logo, os números do domínio que têm imagem 4 são 1 e 3.

Análise dos Passos

• Interpretação do Enunciado: A pergunta "possuem como imagem o número 4" traduz-se matematicamente em f(x) = 4.
• Montagem da Equação: Substituir a expressão da função por 4 resulta em uma equação racional que se torna polinomial após simplificação.
• Resolução da Quadrática: A equação x^2 - 4x + 3 = 0 possui raízes inteiras fáceis de identificar via soma e produto.
• Verificação do Domínio: É crucial checar se as soluções encontradas pertencem ao conjunto definido (\mathbb{R}^*). Como 1 e 3 não são nulos, ambas as respostas são válidas.

Portanto, a alternativa correta é a que lista os números 1 e 3.

Alternativa C.