Análise da Questão
Para resolver esta questão, precisamos analisar as propriedades da função definida por partes apresentada na imagem. Vamos examinar o domínio, a imagem e o comportamento (crescimento/decrescimento) de cada trecho.
1. Determinação do Domínio
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Somamos os intervalos dados nas condições:
[0, 1) \cup [1, 6] \cup (6, 7]
Observando a junção dos intervalos:
- Vai de 0 até 1 (excluindo 1)
- Começa em 1 até 6 (incluindo ambos)
- Começa depois de 6 até 7 (incluindo 7)
A união desses intervalos forma o intervalo fechado:
D = [0, 7]
Portanto, a alternativa (A) está incorreta, pois o domínio é apenas o intervalo [0, 7] e não o conjunto dos números reais (\mathbb{R}).
2. Cálculo do Conjunto Imagem
Precisamos encontrar o conjunto de valores de saída (y) para cada parte da função e depois unir esses resultados.
- Primeiro Trecho: f(x) = 4x para $0 \leq x < 1$
- É uma função linear crescente.
- Mínimo: f(0) = 4(0) = 0.
- Máximo (limite): f(1) = 4(1) = 4 (não incluso).
- Imagem deste trecho: I_1 = [0, 4).
- Segundo Trecho: f(x) = x^2 - 7x + 10 para $1 \leq x \leq 6$
- É uma parábola com concavidade para cima (a=1).
- Encontramos o vértice (V_x):
V_x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-7)}{2} = 3.5 - Calculamos o valor da função no vértice (V_y):
f(3.5) = (3.5)^2 - 7(3.5) + 10 = 12.25 - 24.5 + 10 = -2.25 = -\frac{9}{4} - Verificamos as extremidades do intervalo [1, 6]:
- f(1) = 1 - 7 + 10 = 4
- f(6) = 36 - 42 + 10 = 4
- A imagem deste trecho vai do mínimo no vértice até o máximo nas extremidades:
- Imagem deste trecho: I_2 = [-\frac{9}{4}, 4].
- Terceiro Trecho: f(x) = -4x + 28 para $6 < x \leq 7$
- É uma função linear decrescente (coeficiente angular negativo).
- No limite x \to 6: -4(6) + 28 = 4.
- No ponto final x = 7: -4(7) + 28 = 0.
- Imagem deste trecho: I_3 = [0, 4).
Juntando as imagens:
I_f = I_1 \cup I_2 \cup I_3 = [0, 4) \cup [-\frac{9}{4}, 4] \cup [0, 4)
Como [-\frac{9}{4}, 4] engloba os outros intervalos, o conjunto imagem total é:
I_f = [-\frac{9}{4}, 4]
Isso confirma que a alternativa (C) está correta.
3. Verificação das Outras Alternativas
- (B) Bijetora: Uma função bijetora deve ser injetora (cada y tem apenas um x correspondente).
- Note que f(0) = 0 (primeiro trecho) e f(7) = 0 (terceiro trecho).
- Como dois valores diferentes de entrada produzem o mesmo resultado, a função não é injetora. Portanto, não é bijetora.
- (D) Crescente em todos os pontos:
- O segundo trecho contém uma parábola que desce até o vértice (x=3.5) e depois sobe. Além disso, o terceiro trecho é decrescente. Logo, não é crescente em todo o domínio.
- (E) Decrescente em todos os pontos:
- O primeiro trecho é $4x$, que é estritamente crescente. Logo, não é decrescente em todo o domínio.
Conclusão
Após analisar o domínio, calcular a imagem de cada ramo da função e verificar as propriedades de monotonia e bijetividade, concluímos que a única afirmação correta é a relativa ao conjunto imagem.
Alternativa C