Alternativa E
Para resolver esta questão, precisamos traduzir a frase em português para a linguagem da lógica matemática (lógica de predicados). Vamos decompor o argumento passo a passo.
Tradução do Argumento
A frase original é: "A multiplicação de dois números inteiros negativos é um número positivo".
- Quantificadores Universais: O termo "dois números" implica uma regra geral para qualquer par de números que satisfaça a condição. Isso exige o quantificador universal (\forall) para ambas as variáveis.
- Símbolo: (\forall x)(\forall y)
- Condição (Premissa): Os números devem ser "negativos". Logicamente, isso significa que x deve ser negativo E y deve ser negativo.
- Operador lógico: Conjunção (\land - "e").
- Idealmente seria escrito como (x < 0) \land (y < 0).
- Conclusão: O resultado da multiplicação deve ser "positivo".
- Relação Lógica: A estrutura é condicional ("Se os números são negativos, então o produto é positivo").
- Operador: Implicação (\to).
Análise das Alternativas
Vamos verificar quais opções seguem essa estrutura lógica correta:
| Característica | Exigência Lógica | Alternativa A | Alternativa B | Alternativa C | Alternativa D | Alternativa E |
|---|
| Quantificadores | Todos os casos (\forall) | Sim | Sim | Não (\exists) | Não (\exists) | Sim |
| Conectivo Principal | Se... então (\to) | Sim | Não (\leftrightarrow) | Sim | Sim | Sim |
| Condição | Conjunção (\land) | Falta (x \land y) | Falta | Sim | Não (\lor) | Sim |
- Eliminação por Quantificadores: As alternativas C e D usam o símbolo \exists (existe), o que indicaria que a regra vale apenas para alguns números, não para todos. Como a propriedade é geral, elas estão incorretas.
- Eliminação por Conectivo: A alternativa B usa \leftrightarrow (se e somente se). O enunciado afirma apenas uma direção (negativo \to positivo), não a inversa. Logo, está incorreta.
- Eliminação por Sintaxe: A alternativa A apresenta (x \land y) sem indicar se x ou y são maiores ou menores que zero. Em lógica com variáveis numéricas, é necessário especificar a propriedade (inequação). Está incompleta.
Observação sobre o Enunciado
Há uma inconsistência entre o texto da pergunta e as opções. O texto diz "números negativos" (deveria usar x < 0), mas a alternativa E utiliza "$x > 0$" (positivos). Em questões de concursos, quando há erro material, deve-se escolher a alternativa que possui a estrutura lógica correta, mesmo que haja um erro de sinal na formulação. A alternativa E é a única que respeita a estrutura de quantificação universal, conjunção na premissa e implicação na conclusão.
Conclusão
A estrutura lógica correta para "Todo x e todo y, se x e y têm propriedade P, então z tem propriedade $Q$" é:
(\forall x)(\forall y)((P(x) \land P(y)) \to Q(xy))
A alternativa E segue exatamente este padrão sintático.
Alternativa E.