Alternativa E
A questão apresenta um problema clássico de lógica proposicional e quantificadores, focado na tradução do argumento "Todos os estudantes são estudiosos" para a linguagem simbólica.
Para resolver, precisamos identificar dois elementos principais: o tipo de quantificador utilizado e o conectivo lógico que une as sentenças.
Análise da Estrutura Lógica
O enunciado contém a frase "Todos os estudantes são estudiosos". Vamos decompor isso passo a passo:
- Quantificador Universal: A palavra-chave "Todos" indica que a afirmação se aplica a todos os elementos do grupo considerado. Na lógica matemática, isso é representado pelo símbolo \forall (lê-se "para todo" ou "qualquer que seja"). Isso elimina imediatamente as alternativas que usam o quantificador existencial (\exists), como as opções A e C.
- Conectivo Condicional (Implicação): Em lógica, as afirmações universais ("Todo S é P") não afirmam uma conjunção direta, mas sim uma condição. Elas dizem que, se algo pertence à categoria S, então ele pertence à categoria P.
- Isso é traduzido pela implicação lógica (\rightarrow).
- A fórmula padrão para "Todo S é P" é: (\forall x)(p(x) \rightarrow q(x)).
- Comparação com outras opções:
- A opção B usa o conectivo "E" (\wedge). O uso de conjunção (\wedge) é reservado para quantificadores existenciais ("Algum S é P"), ou seja, (\exists x)(p(x) \wedge q(x)). Usar "E" com "Todo" seria incorreto, pois implicaria que tudo no universo é ao mesmo tempo estudante e estudioso sem considerar a relação condicional.
- A opção D usa a equivalência (\leftrightarrow), o que significaria "é estudante se e somente se é estudioso", criando uma relação de reciprocidade que não existe no texto original.
Resumo da Tradução
| Elemento do Texto | Símbolo Lógico | Significado |
|---|
| Todos | \forall x | Para todo elemento x |
| Se... então... | \rightarrow | Implicação lógica |
| Estudante | p(x) | Propriedade p aplicada a x |
| Estudioso | q(x) | Propriedade q aplicada a x |
Portanto, a estrutura correta que expressa "Todos os estudantes são estudiosos" é:
(\forall x)(p(x) \rightarrow q(x))
Isso corresponde exatamente à Alternativa E.