Considere um sistema mecânico de amortecimento de vibrações, onde a resposta do sistema y[n] a uma força de entrada x[n] é dada pela seguinte equação de diferenças: y[n] - 1.5y[n-1] + 0.5y[n-2] = x[n]. A força de entrada x[n] é um impulso unitário, ou seja, x[n] = δ[n]. Aplique a Transformada Z para encontrar a expressão de Y(z), onde Y(z) = Z{y[n]}.

Alternativa A - y[n] = 2 - (0.5)^n

Introdução

O problema envolve a análise de um sistema dinâmico discreto usando a Transformada Z. O objetivo é encontrar a resposta y[n] a partir de uma equação de diferenças e uma entrada impulso.

Desenvolvimento

1. Equação de diferenças: y[n] - 1.5y[n-1] + 0.5y[n-2] = x[n], onde x[n] = \delta[n] (impulso unitário).
2. Transformada Z: Aplicando a Transformada Z em ambos os lados, usando as propriedades:

• \mathcal{Z}\{y[n]\} = Y(z)
• \mathcal{Z}\{y[n-k]\} = z^{-k}Y(z)
• \mathcal{Z}\{\delta[n]\} = 1
  Resulta: Y(z) - 1.5z^{-1}Y(z) + 0.5z^{-2}Y(z) = 1.

1. Simplificação: Fatorando Y(z) e multiplicando por z^2:
   Y(z)(z^2 - 1.5z + 0.5) = z^2 ⟹ Y(z) = \frac{z^2}{z^2 - 1.5z + 0.5}.
2. Fatoração do denominador: Raízes são z = 1 e z = 0.5, então Y(z) = \frac{z^2}{(z-1)(z-0.5)}.
3. Frações parciais: Desenvolvendo Y(z) em frações parciais, obtém-se Y(z) = \frac{2z}{z-1} - \frac{z}{z-0.5}.
4. Transformada inversa: Usando \mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{z}{z-a}\right\} = a^n u[n], a resposta é y[n] = 2(1)^n - (0.5)^n para n \geq 0.

Análise

• A entrada é um impulso, então a resposta inicial é determinada pelas raízes do denominador.
• As raízes 1 e 0.5 geram termos 1^n e (0.5)^n, respectivamente.
• O coeficiente 2 surge da decomposição parcial, resultando em y[n] = 2 - (0.5)^n.

Conclusão

A alternativa correta é a A, pois a resposta do sistema para a entrada impulso é y[n] = 2 - (0.5)^n.