Dada a função \( f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{x-1} & \text{para } x \neq 1 \ 3, & \text{para } x = 1 \end{cases} \), determine \( \lim_{x \to 1} f(x) \).

Alternativa C - 1/2

Para resolver este problema, precisamos entender como funcionam os limites quando a função é definida por partes. O objetivo é encontrar o valor que a função se aproxima quando x chega muito perto de 1.

Análise Matemática

Quando calculamos um limite \lim_{x \to 1} f(x), estamos interessados no comportamento da função nos pontos próximos a 1, mas não necessariamente no ponto x = 1 em si. Portanto, o valor definido para x = 1 (que é f(1) = 3) não influencia diretamente o cálculo do limite.

Devemos utilizar a expressão da função para x \neq 1:
f(x) = \frac{x-1}{x^2-1}

Se tentarmos substituir x = 1 diretamente nesta fração, teremos uma indeterminação:
\frac{1-1}{1^2-1} = \frac{0}{0}

Para resolver essa indeterminação, utilizamos a propriedade de diferença de quadrados no denominador (a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)):
x^2 - 1 = (x-1)(x+1)

Assim, reescrevemos a função e simplificamos o termo (x-1):
\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x+1}

Agora, podemos substituir x por 1 sem gerar indeterminação:
\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

Portanto, o limite da função quando x tende a 1 é igual a 1/2.