Dadas as matrizes A, B e C, é correto afirmar que a matriz X, tal que X + A = B - C, é:

Alternativa C

Para resolver esta questão, precisamos primeiro encontrar a matriz X isolando-a na equação dada e depois analisar suas propriedades matemáticas.

A equação fornecida é X + A = B - C. Isolando X, temos:
X = B - C - A

Desenvolvimento

Primeiro, realizamos a subtração entre as matrizes B e C:
B - C = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 3 \\ 7 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 7 & 4 \\ 3 & 2 & 4 \\ 7 & 8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 4 & 0 & -3 \\ -6 & -6 & -2 \end{pmatrix}

Em seguida, subtraímos a matriz A do resultado anterior para obter X:
X = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 4 & 0 & -3 \\ -6 & -6 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -4 & -6 \\ 2 & -3 & -4 \\ -6 & -10 & -4 \end{pmatrix}

Com a matriz X calculada, podemos verificar cada alternativa.

Analise

• (A) Simétrica: Uma matriz é simétrica se X^T = X. Comparando os elementos fora da diagonal principal, vemos que x_{12} = -4 e x_{21} = 2. Como são diferentes, não é simétrica.
• (B) Antissimétrica: Exige que a transposta seja o oposto (X^T = -X) e que os elementos da diagonal principal sejam todos nulos. O elemento x_{22} é -3, logo não é antissimétrica.
• (C) Inversível: Uma matriz quadrada é inversível se seu determinante for diferente de zero (\det(X) \neq 0). Calculando o determinante de X, obtemos um valor igual a $100$. Como $100 \neq 0$, a matriz possui inversa.
• (D) Singular: Matriz singular é aquela que tem determinante igual a zero. Como nosso determinante é $100$, ela não é singular.
• (E) Nula: Requer que todos os elementos da matriz sejam iguais a zero. Claramente falso neste caso.

Conclusao

A única propriedade correta que descreve a matriz X é ser inversível, pois seu determinante é não nulo.

Portanto, a resposta correta é a Alternativa C.