Em apenas um dos intervalos das opções abaixo está localizada alguma solução da equação cos(9πx) / 9 = x. Qual destes intervalos?

Alternativa A

A questão solicita a identificação do intervalo que contém uma solução da equação \frac{\cos(9x)}{9} = x. Para encontrar essa resposta, aplicamos o Teorema de Bolzano (Teorema do Valor Intermediário), que garante a existência de uma raiz quando a função muda de sinal em um intervalo contínuo.

Análise

Para resolver, definimos uma função f(x) igualando tudo a zero:
f(x) = \frac{\cos(9x)}{9} - x

O objetivo é encontrar onde f(x) = 0. Vamos testar os pontos extremos do intervalo sugerido na alternativa (a), que são x = 0 e x = \frac{\pi}{36}.

• Avaliação em x = 0:
  Substituindo $0$ na função:
  f(0) = \frac{\cos(0)}{9} - 0 = \frac{1}{9}
  Como \frac{1}{9} > 0, o valor da função é positivo.
• Avaliação em x = \frac{\pi}{36}:
  Substituindo \frac{\pi}{36} na função:
  f\left(\frac{\pi}{36}\right) = \frac{\cos\left(9 \cdot \frac{\pi}{36}\right)}{9} - \frac{\pi}{36} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{9} - \frac{\pi}{36}
  Sabemos que \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}. Assim:
  f\left(\frac{\pi}{36}\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{9} - \frac{\pi}{36} = \frac{\sqrt{2}}{18} - \frac{\pi}{36}
  Para comparar, colocamos sobre o mesmo denominador (36):
  f\left(\frac{\pi}{36}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{36} - \frac{\pi}{36} = \frac{2\sqrt{2} - \pi}{36}
• Aplicação da Dica:
  O enunciado fornece a dica \pi > 2\sqrt{2}. Isso significa que o numerador $2\sqrt{2} - \pi$ é um número negativo.
  Portanto, f\left(\frac{\pi}{36}\right) < 0.

Conclusão:
Como a função é contínua e mudamos de um valor positivo (f(0) > 0) para um valor negativo (f(\frac{\pi}{36}) < 0), necessariamente existe uma solução entre esses dois pontos. Isso confirma que a raiz está localizada no intervalo (0, \pi/36).

As outras alternativas podem ser descartadas rapidamente analisando o comportamento da função ou verificando se há mudança de sinal. Por exemplo, para x < 0 (alternativa b), o lado esquerdo da equação original é positivo e o direito é negativo, impossibilitando a igualdade.