Em determinado país, em que a moeda é simbolizada por $, o imposto de renda é cobrado em função da renda mensal do trabalhador da seguinte forma: Isento, se a renda mensal do trabalhador for igual ou inferior a $10.000,00; II. 10% sobre a renda, menos 1.000,00, se a renda mensal do trabalhador for superior a $10.000,00 e igual ou inferior a $20.000,00. III. 20% sobre a renda, se a renda mensal do trabalhador for superior a $20.000,00. Se, para uma renda mensal igual a $x, o trabalhador recolhe l(x) de imposto, então é correto afirmar que:

Análise da Função de Imposto de Renda

Para resolver esta questão, precisamos analisar o comportamento da função I(x) em cada intervalo definido pelo enunciado e determinar qual afirmação sobre suas propriedades (tipo de função, domínio e imagem) é verdadeira.

1. Definindo a Função por Partes

Baseado nas regras apresentadas na imagem, podemos escrever a função I(x) matematicamente. Vamos considerar que a renda x deve ser um valor não negativo (x \geq 0).

2. Analisando as Alternativas

Vamos verificar cada opção com base na definição acima:

• Alternativa A (Função Constante): Uma função constante tem sempre o mesmo resultado para qualquer entrada (f(x) = c). Aqui, o imposto varia conforme a renda (0, depois aumenta linearmente, depois aumenta mais rápido). Portanto, não é constante. (Falso)
• Alternativa B (Domínio): O domínio é o conjunto de todas as rendas possíveis. Como a regra I cobre rendas "iguais ou inferiores a $10.000", isso inclui valores como $5.000, $1.000, etc. O domínio começa em 0, não em 10.000. (Falso)
• Alternativa C e D (Imagem/Rango): Precisamos calcular os valores possíveis de saída (imposto pago) para cada parte da função:

1. Intervalo [0, 10.000]: O imposto é fixo em 0.
2. Intervalo (10.000, 20.000]: A função é $0,10x - 1.000$.

• Próximo a 10.000: $0,10(10.000) - 1.000 = 0$.
• Em 20.000: $0,10(20.000) - 1.000 = 2.000 - 1.000 = \mathbf{1.000}$.
• Faixa de impostos aqui: (0, 1.000].
• Unindo com o primeiro caso: [0, 1.000].

1. Intervalo (20.000, +\infty): A função é $0,20x$.

• Próximo a 20.000: $0,20(20.000) = \mathbf{4.000}$ (mas não atinge, pois x > 20.000).
• Para rendas muito altas, o imposto vai até +\infty.
• Faixa de impostos aqui: $(4.000, +\infty[$.

Conclusão sobre a Imagem: A imagem total é a união dessas faixas:
\text{Im}(I) = [0, 1.000] \cup (4.000, +\infty[
Existe um "salto" entre 1.000 e 4.000, onde nenhum valor de imposto é cobrado devido à mudança brusca na alíquota.

• Comparação Final:
• A alternativa C diz que a imagem é contínua de 0 a infinito, ignorando o salto. (Falso)
• A alternativa D descreve exatamente o cálculo feito acima: [0, 1000] \cup (4000, +\infty[. (Verdadeiro)

Conclusão

A alternativa correta é a D, pois ela identifica corretamente o conjunto dos valores assumidos pela função (imagem), considerando a descontinuidade no ponto de transição entre as alíquotas de 10% e 20%.