Em determinado país, em que a moeda é simbolizada por $, o imposto de renda é cobrado em função da renda da seguinte forma: Isento, se a renda mensal do trabalhador for igual ou inferior a $10.000,00; II. 10% sobre a renda, menos 1.000, 00, se a renda mensal do trabalhador for superior a $10.000,00 e inferior ou igual a $20.000,00. III. 20% sobre a renda, se a renda mensal do trabalhador for superior a $20.000,00. Se, para uma renda mensal igual a $x, o trabalhador recolhe I(x) de imposto, então é correto afirmar que:

Alternativa D

Para resolver esta questão, precisamos construir a função matemática que descreve o cálculo do imposto e analisar suas características principais: o domínio e a imagem.

Construção da Função

Vamos definir a função I(x), onde x representa a renda mensal em dólares ($). Com base nas regras do enunciado, temos uma função definida por partes:

1. Regra I (Renda até $10.000):
   Se $0 \le x \le 10.000$, o imposto é zero.
   I(x) = 0
2. Regra II (Renda entre $10.000 e $20.000):
   Se $10.000 < x \le 20.000$, o imposto é 10% da renda menos $1.000$.
   I(x) = 0,10x - 1.000
3. Regra III (Renda acima de $20.000):
   Se x > 20.000, o imposto é 20% da renda.
   I(x) = 0,20x

Análise das Alternativas

Agora, vamos verificar cada afirmativa baseada nessa construção:

• Alternativa A (Função Constante): Incorreta. Uma função constante mantém o mesmo valor para qualquer entrada. Aqui, o valor muda conforme a renda aumenta.
• Alternativa B (Domínio): Incorreta. O domínio representa os valores possíveis de entrada (renda). Como é possível ter renda menor ou igual a $10.000$ (Regra I), o domínio começa em 0. Logo, o domínio é [0; +\infty[.
• Alternativa C e D (Imagem/Retrato): Vamos calcular os valores de saída (imposto) em cada intervalo.
• No primeiro intervalo (x \le 10.000), o valor é sempre 0.
• No segundo intervalo ($10.000 < x \le 20.000$):
• Próximo a $10.000$: $0,10(10.000) - 1.000 = 0$.
• Em $20.000$: $0,10(20.000) - 1.000 = 1.000$.
• Faixa de valores: (0; 1.000].
• Juntando as duas primeiras regras, a imagem parcial é [0; 1.000].
• No terceiro intervalo (x > 20.000):
• Próximo a $20.000$: $0,20(20.000) = 4.000$.
• Para qualquer valor maior, o resultado será maior que $4.000$.
• Faixa de valores: (4.000; +\infty[.

Conclusão

Observamos que existe um "salto" na cobrança do imposto. Quando a renda passa de $20.000$, o valor do imposto pula de $1.000$ para algo superior a $4.000$. Isso significa que nenhum valor de imposto entre $1.000$ e $4.000$ é atingido.

Portanto, a imagem da função é a união dos dois conjuntos encontrados:
\text{Im}(I) = [0; 1.000] \cup (4.000; +\infty[

Isso confirma exatamente o que diz a alternativa D.