Em determinado país, em que a moeda é simbolizada por $, o imposto de renda é cobrado em função da renda mensal do trabalhador da seguinte forma: Isento, se a renda mensal do trabalhador for igual ou inferior a $10.000,00; II. 10% sobre a renda, menos 1.000,00, se a renda mensal do trabalhador for superior a $10.000,00 e inferior ou igual a $20.000,00. III. 20% sobre a renda, se a renda mensal do trabalhador for superior a $20.000,00. Se, para uma renda mensal igual a $x, o trabalhador recolhe I(x) de imposto, então é correto afirmar que:

Alternativa D

Para resolver esta questão, precisamos analisar a função definida por partes I(x), que representa o valor do imposto a pagar dependendo da renda mensal x. Vamos decompor as três regras apresentadas no enunciado para determinar o domínio e a imagem (conjunto dos valores possíveis) da função.

Definição da Função I(x)

Com base nas regras fornecidas, podemos escrever a função da seguinte forma:

1. Regra I: Se x \le 10.000, o imposto é isento (zero).
   I(x) = 0
2. Regra II: Se $10.000 < x \le 20.000$, o imposto é 10% da renda menos 1.000.
   I(x) = 0,10x - 1.000
3. Regra III: Se x > 20.000, o imposto é 20% da renda.
   I(x) = 0,20x

Análise da Imagem (Conjunto Imagem)

Agora, vamos calcular os valores que a função pode assumir (a imagem) em cada intervalo:

• No primeiro caso (x \le 10.000):
  O valor do imposto é sempre 0.
  Parte da imagem: \{0\}
• No segundo caso ($10.000 < x \le 20.000$):
  Calculamos os limites da função linear f(x) = 0,10x - 1.000:
• No limite inferior (próximo a 10.000): $0,10(10.000) - 1.000 = 0$.
• No limite superior (igual a 20.000): $0,10(20.000) - 1.000 = 2.000 - 1.000 = 1.000$.
  Como a função é crescente neste trecho, assume todos os valores entre 0 e 1.000.
  Parte da imagem: (0, 1.000]

União com o primeiro caso: [0, 1.000]

• No terceiro caso (x > 20.000):
  A função é g(x) = 0,20x.
• Limite inferior (estritamente maior que 20.000): $0,20(20.000) = 4.000$. Como o valor de x é estritamente superior, o imposto será estritamente superior a 4.000.
• Não há limite máximo para a renda.
  Parte da imagem: (4.000, +\infty[

Conclusão

Juntando todas as partes calculadas, a imagem total da função I é a união dos intervalos encontrados:

Isso significa que não existem impostos pagos entre R\$ 1.000,01 e R\$ 4.000,00 devido à descontinuidade na transição entre a alíquota de 10% e a de 20%.

Portanto, a alternativa correta é a D, que descreve exatamente esse conjunto imagem. As outras alternativas estão incorretas porque:

• A: A função não é constante, pois o valor muda conforme a renda aumenta.
• B: O domínio inclui rendas menores que 10.000 (onde o imposto é 0).
• C: A imagem não é contínua de 0 a infinito, existe um "salto" entre 1.000 e 4.000.