Em meados de 250 d.C., um grande matemático surge para dar suas contribuições à Álgebra e à Teoria dos números. Seu nome era Diofanto de Alexandria. Ele dedicou-se expressivamente à resolução exata de equações, tanto de determinadas como de indeterminadas. É importante saber que, ainda que Euclides e outros estudiosos tenham feito descobertas importantes, Diofanto realizou avanços incomparáveis. É por meio dos estudos deste grande matemático que surgem as equações diofantinas. Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta: I - Equações diofantinas são todas as equações polinomiais com coeficientes inteiros em que o universo das variáveis é o conjunto dos números inteiros. II - Uma equação diofantina linear ax + by = c sempre tem solução. III - A equação diofantina ax + by = c que tem uma solução (x₀,y₀) tem como conjunto das soluções S = {(x₀+b/d)t, y₀-(a/d)t|t∈Z}, em que d = mdc(a,b).

Alternativa D - Apenas a I e III estão corretas.

Análise Detalhada

Esta questão aborda o conceito de Equações Diofantinas, nome dado em homenagem ao matemático grego Diofanto de Alexandria, que viveu no século III d.C. e é conhecido como o "pai da Álgebra".

1. Análise da Afirmação I (Correta)

"Equações diofantinas são todas as equações polinomiais com coeficientes inteiros em que o universo das variáveis é o conjunto dos números inteiros."

Esta é a definição clássica de uma equação diofantina.

• Polinomiais: Envolvem potências inteiras das variáveis.
• Coeficientes Inteiros: Os números que acompanham as variáveis devem ser inteiros (\mathbb{Z}).
• Soluções Inteiras: Busca-se encontrar valores para as incógnitas que também pertençam ao conjunto dos inteiros (\mathbb{Z}).

Portanto, a afirmação I está correta.

2. Análise da Afirmação II (Incorreta)

"Uma equação diofantina linear ax + by = c sempre tem solução."

Esta afirmação é falsa. Nem toda equação linear desse tipo possui solução inteira. Existe uma condição necessária para que ela exista, baseada no Teorema de Bezout:

• A equação ax + by = c tem solução se e somente se o Máximo Divisor Comum (mdc) de a e b for um divisor de c.
• Exemplo prático: Considere $2x + 4y = 5$.
• \text{mdc}(2, 4) = 2.
• O número 2 não divide 5.
• Logo, não existem números inteiros x e y que satisfaçam essa equação.

Como a afirmação diz "sempre", ela está errada.

3. Análise da Afirmação III (Correta)

"A equação diofantina ax + by = c que tem uma solução (x_0,y_0) tem como conjunto das soluções..."

Esta afirmação descreve a solução geral de uma equação diofantina linear. Embora haja um pequeno erro de formatação na notação da imagem (na parte de x), a estrutura conceitual apresentada é a correta.

Para resolver ax + by = c, definimos d = \text{mdc}(a, b). Se existir uma solução particular (x_0, y_0), todas as outras soluções podem ser geradas por um parâmetro inteiro t \in \mathbb{Z}, conforme a fórmula abaixo:

Na imagem, vemos a estrutura y_0 - (a/d)t, que está alinhada com a teoria. O termo referente a x na imagem apresenta uma grafia confusa ((x_0+b)d), mas o contexto da questão e a presença do termo a/d em y indicam que a intenção é validar o conhecimento da fórmula da solução geral.

Portanto, considerando o conteúdo teórico avaliado, a afirmação III é considerada correta neste contexto.

Conclusão

• I: Verdadeira (Definição correta).
• II: Falsa (Não "sempre" tem solução, depende da divisibilidade por d).
• III: Verdadeira (Descreve a solução geral paramétrica).

A combinação correta é apenas I e III.

Resposta Final: Alternativa D