Em projeto de processamento de sinais digitais, um engenheiro precisa analisar um sinal discreto x[n] que representa uma onda senoidal com período fundamental N=4. O sinal é descrito pela função: z[n] = sin(πn/2). O engenheiro deseja expandir esse sinal em uma Série de Fourier Discreta para identificar suas componentes harmônicas. Qual das alternativas abaixo descreve corretamente o coeficiente d₀ para função?

Alternativa D - 0

Para encontrar o coeficiente d_0 da Série de Fourier Discreta (DFS), precisamos calcular o valor médio do sinal ao longo de um único período.

Análise Detalhada

1. Identificação da Fórmula:
   A questão fornece a fórmula para o cálculo dos coeficientes d_k:
   d_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\omega_0 k n}

Para k=0 (coeficiente d_0), o termo exponencial se torna e^0 = 1. Portanto, a fórmula simplifica para a média aritmética dos valores do sinal no período:
d_0 = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]

1. Determinação dos Valores do Sinal:
   Temos as seguintes informações:

• Sinal: x[n] = \sin(\frac{\pi n}{2})
• Período: N = 4

Precisamos calcular x[n] para n = 0, 1, 2, 3:

1. Cálculo de d_0:
   Substituindo os valores na fórmula da média:
   d_0 = \frac{1}{4} (0 + 1 + 0 + (-1))
   d_0 = \frac{1}{4} (0)
   d_0 = 0

Conclusão

O coeficiente d_0 representa a componente de corrente contínua (DC) do sinal. Como a onda senoidal é simétrica em torno do eixo zero (soma positiva igual à soma negativa no período), o valor médio é zero.

Portanto, a alternativa correta é a D.