Em projeto de processamento de sinais digitais, um engenheiro precisa analisar um sinal discreto x[n] que representa uma onda senoidal com período fundamental N=4. O sinal é descrito pela função: z[n] = sin(πn/4). O engenheiro deseja expandir esse sinal em uma Série de Fourier Discreta para identificar suas componentes harmônicas. Qual das alternativas abaixo descreve corretamente o coeficiente d_1 para essa função?

Alternativa C - -1/4

Introdução

O problema envolve calcular o coeficiente d_1 da Série de Fourier Discreta (SFD) de um sinal senoidal periódico x[n] = \sin\left(\frac{\pi n}{4}\right) com período fundamental N = 4.

Desenvolvimento

A fórmula para os coeficientes da SFD é:
d_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j k \omega_0 n}
onde \omega_0 = \frac{2\pi}{N} (frequência fundamental).

Para k = 1 e N = 4, \omega_0 = \frac{\pi}{2}. Substituindo, temos:
d_1 = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{3} \sin\left(\frac{\pi n}{4}\right) e^{-j \frac{\pi}{2} n}

Análise dos termos da soma

• n = 0: \sin(0) \cdot e^{0} = 0
• n = 1: \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot e^{-j \frac{\pi}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-j) = -\frac{j\sqrt{2}}{2} (pois e^{-j \frac{\pi}{2}} = -j)
• n = 2: \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot e^{-j \pi} = 1 \cdot (-1) = -1 (pois e^{-j \pi} = -1)
• n = 3: \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \cdot e^{-j \frac{3\pi}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot j = \frac{j\sqrt{2}}{2} (pois e^{-j \frac{3\pi}{2}} = j)

Soma e resultado

Somando os termos: 0 - \frac{j\sqrt{2}}{2} - 1 + \frac{j\sqrt{2}}{2} = -1.
Assim, d_1 = \frac{1}{4} \cdot (-1) = -\frac{1}{4}.

Conclusão

O coeficiente d_1 é -\frac{1}{4}, correspondendo à Alternativa C.