Em um estudo ambiental sobre o Rio Paraíba do Sul, realizado no trecho em que corta o município de São José dos Campos, pesquisadores registraram a quantidade acumulada de resíduos recolhidos ao longo do rio. No primeiro quilômetro monitorado, foram recolhidos 100 kg de resíduos. A cada novo quilômetro percorrido rio abaixo, a quantidade acumulada de resíduos aumentou sempre em 20 kg em relação ao total registrado no quilômetro anterior. Considere n como o número de quilômetros monitorados ao longo do rio e R(n) a quantidade de resíduos recolhidos, em quilogramas, no enésimo quilômetro. A expressão algébrica que representa a quantidade de resíduos recolhidos no enésimo quilômetro, R(n), em função do número de quilômetros monitorados, n, é

Alternativa D

O problema descreve uma sequência onde cada termo segue um padrão de crescimento constante, caracterizando uma Progressão Aritmética (PA).

Identificação dos Dados

Para resolver, precisamos identificar os elementos principais da progressão:

• Primeiro termo (a_1): É a quantidade de resíduos no primeiro quilômetro. O enunciado diz que foram recolhidos 100 kg. Logo, a_1 = 100.
• Razão (r): É o aumento fixo a cada novo quilômetro. O texto afirma que a quantidade aumentou sempre em 20 kg em relação ao anterior. Logo, r = 20.

Fórmula Geral da PA

A fórmula para encontrar o termo geral de uma progressão aritmética é:

Onde:

• a_n (ou R(n) neste caso) é o valor do $n$-ésimo termo.
• a_1 é o primeiro termo.
• r é a razão.
• n é a posição do termo.

Substituição e Conclusão

Substituindo os valores identificados na fórmula:

Reorganizando a expressão, temos:

Isso corresponde exatamente à Alternativa D.

Análise das Alternativas Incorretas

• (A) e (B): Não consideram o valor inicial de 100 kg, apenas multiplicam n.
• (C): Se usarmos n=1, teríamos $100 + 20(1) = 120$, mas o primeiro quilômetro teve 100 kg.
• (E): Apresenta uma estrutura quadrática (n^2), o que não condiz com o crescimento linear descrito no texto.