Em um estudo ambiental sobre o Rio Paraíba do Sul, realizado no trecho que corta o município de São José dos Campos, pesquisadores registraram a quantidade acumulada de resíduos recolhidos ao longo do rio. No primeiro quilômetro monitorado, foram recolhidos 100 kg de resíduos. A cada novo quilômetro percorrido rio abaixo, a quantidade acumulada de resíduos aumentou sempre em 20 kg em relação ao total registrado no quilômetro anterior. Considere n como o número de quilômetros monitorados ao longo do rio e R(n) a quantidade de resíduos recolhidos, em quilogramas, no enésimo quilômetro. A expressão algébrica que representa a quantidade de resíduos recolhidos no enésimo quilômetro, R(n), em função do número de quilômetros monitorados, n, é

Alternativa D

Este problema envolve o reconhecimento e aplicação da fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética (PA). Vamos analisar os dados fornecidos para construir a expressão algébrica correta.

Dados do Problema

Identificamos duas informações principais no enunciado:

1. Primeiro Termo (a_1): No primeiro quilômetro monitorado (n=1), foram recolhidos 100 kg.
2. Razão (r): A cada novo quilômetro, a quantidade aumenta em 20 kg em relação ao quilômetro anterior. Isso indica que a sequência cresce de forma constante.

Desenvolvimento Matemático

Para encontrar a quantidade de resíduos no n$-ésimo quilômetro, representado por $R(n), utilizamos a fórmula geral de uma Progressão Aritmética:

Onde:

• a_n é o termo procurado (R(n)).
• a_1 é o primeiro termo (100).
• n é a posição na sequência (quilômetro).
• r é a razão (20).

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:

Ou, reorganizando levemente para conferir com as opções:

Análise das Alternativas

Vamos verificar qual alternativa corresponde à nossa dedução:

A alternativa D reproduz exatamente a fórmula da PA derivada dos dados do problema.

Conclusão: A expressão algébrica correta é $R(n) = 100 + 20(n - 1)$, correspondendo à Alternativa D.