Este problema envolve equações diofantinas. Sendo assim, tome como referência o seguinte teorema: considere a seguinte equação diofantina ax + by = c que (x₀, y₀) é uma solução particular. Tem-se que x e y é uma solução da equação se, e somente se, x = x₀ + t(a,b) y = y₀ - t(a,b) , para algum t ∈ Z Considerando essas informações, pede-se para encontrar a solução geral da equação 5x + 6y = 7, assinalando a alternativa que contém a resposta correta:

Alternativa C

Este problema trata de resolver uma equação diofantina linear, que é uma equação da forma ax + by = c onde buscamos soluções inteiras para x e y. O enunciado fornece a fórmula geral para encontrar essas soluções com base em uma solução particular (x_0, y_0).

Análise do Problema

Para encontrar a resposta correta, devemos seguir os passos indicados pelo teorema apresentado na imagem:

1. Identificar os coeficientes:
   Comparando $5x + 6y = 7$ com ax + by = c, temos:

• a = 5
• b = 6
• c = 7

1. Calcular o Máximo Divisor Comum (mdc):
   Precisamos calcular (a, b), que representa o \text{mdc}(5, 6). Como 5 e 6 são números primos entre si:
   \text{mdc}(5, 6) = 1
2. Aplicar as fórmulas gerais:
   Substituindo os valores nas fórmulas fornecidas no enunciado:

• Para x:
  x = x_0 + t \frac{b}{(a,b)} \Rightarrow x = x_0 + t \frac{6}{1} \Rightarrow x = x_0 + 6t
• Para y:
  y = y_0 - t \frac{a}{(a,b)} \Rightarrow y = y_0 - t \frac{5}{1} \Rightarrow y = y_0 - 5t

Portanto, a estrutura da solução geral deve ter +6t$** para $x e -5t$** para $y. Isso já elimina as alternativas A, B e D, pois elas não seguem essa proporção ou sinal.

1. Verificar a solução particular (x_0, y_0):
   A alternativa C propõe:
   x = -7 + 6t
   y = 7 - 5t
   Aqui, a solução particular é x_0 = -7 e y_0 = 7. Vamos verificar se satisfaz a equação original ($5x + 6y = 7$):
   5(-7) + 6(7) = -35 + 42 = 7
   A conta está correta.

Resumo da Verificação

Conclusão

A alternativa C é a única que respeita tanto a estrutura algébrica das fórmulas (coeficientes $6$ e $5$ com sinais opostos) quanto a verificação numérica da equação original.