Este problema envolve equações diofantinas. Sendo assim, tome como referência o seguinte teorema: considere a equação diofantina ax + by = c e que (x₀, y₀) é uma solução particular. Tem-se que x e y é uma solução da equação se, e somente se, x = x₀ + t(a,b) y = y₀ - t(a,b) , para algum t ∈ Z. Considerando essas informações, pede-se para encontrar a solução geral da equação 5x + 6y = 7, assinalando a alternativa que contém a resposta correta:

Alternativa C

Para resolver esta questão sobre equações diofantinas, precisamos aplicar rigorosamente o teorema apresentado no enunciado. O objetivo é encontrar a solução geral para a equação linear $5x + 6y = 7$.

Passo a Passo da Análise

1. Identificar os coeficientes:
   Comparando a equação dada $5x + 6y = 7$ com a forma geral ax + by = c, temos:

• a = 5
• b = 6
• c = 7

1. Calcular o Máximo Divisor Comum (MDC):
   Precisamos calcular \text{mdc}(a, b) = \text{mdc}(5, 6).
   Como 5 e 6 são números primos entre si:
   \text{mdc}(5, 6) = 1
2. Determinar os termos do parâmetro t:
   Segundo o teorema da imagem:

• O termo associado a x é + t \frac{b}{\text{mdc}(a,b)} = + t \frac{6}{1} = +6t
• O termo associado a y é - t \frac{a}{\text{mdc}(a,b)} = - t \frac{5}{1} = -5t

Isso significa que a solução geral deve ter a estrutura:
x = x_0 + 6t
y = y_0 - 5t

1. Verificar as alternativas quanto à estrutura:

• A e B: Possuem sinais incorretos ou constantes erradas.
• D: Os coeficientes de t estão errados (são 1 em vez de 6 e 5).
• E: O sinal de $5t$ está positivo, violando a fórmula do teorema.
• C: Apresenta a estrutura correta: x = -7 + 6t e y = 7 - 5t.

1. Validar a Solução Particular (x_0, y_0):
   Na alternativa C, quando t = 0, temos x_0 = -7 e y_0 = 7. Vamos substituir na equação original para garantir que é uma solução válida:
   5(-7) + 6(7) = -35 + 42 = 7
   A conta fecha perfeitamente ($7=7$), confirmando que (-7, 7) é uma solução particular válida.

Conclusão

A única alternativa que respeita a estrutura matemática imposta pelo teorema (coeficientes 6 e -5 para t) e satisfaz a equação original é a Alternativa C.