Este problema envolve o teorema chinês do resto. Sendo assim, vamos relembrá-lo: sejam a₁, a₂, ..., ak números inteiros positivos, de tal forma que (aᵢ, aⱼ) = 1, ∀i, ∀j; i = 0,1,2, ..., k e i ≠ j. Dados inteiros quaisquer b₁, b₂, ..., bk, o sistema de congruências lineares x ≡ b₁(a₁) x ≡ b₂(a₂) ... x ≡ bₖ(aₖ) admite solução única módulo a₁, a₂, ..., ak dada por x = N₁y₁b₁ + N₂y₂b₂ + ...Nk yₖbₖ, em que N = a₁a₂...ak, Nᵢ = a₁a₂...aₖ/aᵢ, com 1 ≤ i ≤ k e yᵢ é solução da equação yᵢNᵢ≡1 (aᵢ). Considerando essas informações e sabendo que um número inteiro positivo n, quando dividido por 7, deixa resto 3 e, quando dividido por 11, deixa resto 5, é correto afirmar que o menor natural que dividido por 7 deixa resto 3 e quando dividido por 11 deixa resto 5 é igual a:

Alternativa E

O problema solicita o menor número natural n que satisfaz um sistema de duas congruências lineares, utilizando o Teorema Chinês do Resto.

Os dados fornecidos são:

• n \equiv 3 \pmod 7 (dividido por 7, resto 3)
• n \equiv 5 \pmod{11} (dividido por 11, resto 5)

Análise do Problema

Para resolver, seguimos os passos descritos no enunciado da questão:

1. Identificar os parâmetros:

• a_1 = 7, b_1 = 3
• a_2 = 11, b_2 = 5
• O produto dos módulos é N = a_1 \times a_2 = 7 \times 11 = 77.

1. Calcular os valores de N_i:

• N_1 = \frac{N}{a_1} = \frac{77}{7} = 11
• N_2 = \frac{N}{a_2} = \frac{77}{11} = 7

1. Encontrar os inversos multiplicativos (y_i):
   Precisamos de y_i tal que y_i \cdot N_i \equiv 1 \pmod{a_i}.

• Para i=1: y_1 \cdot 11 \equiv 1 \pmod 7. Como $11 \equiv 4 \pmod 7$, temos $4y_1 \equiv 1 \pmod 7$. O valor que satisfaz isso é y_1 = 2 (pois $4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod 7$).
• Para i=2: y_2 \cdot 7 \equiv 1 \pmod{11}. O valor que satisfaz isso é y_2 = 8 (pois $7 \times 8 = 56$, e $56 = 55 + 1 \equiv 1 \pmod{11}$).

1. Aplicar a fórmula da solução única:
   x = N_1 y_1 b_1 + N_2 y_2 b_2
   Substituindo os valores:
   x = (11 \cdot 2 \cdot 3) + (7 \cdot 8 \cdot 5)
   x = 66 + 280
   x = 346
2. Reduzir módulo N:
   A solução geral é dada módulo N = 77. Precisamos do menor natural positivo.
   346 \div 77 \approx 4.49
   346 - (77 \times 4) = 346 - 308 = 38

Portanto, o menor número natural é 38.

Verificação Rápida

Podemos confirmar verificando as divisões:

• $38 \div 7 = 5$ com resto 3 (correto).
• $38 \div 11 = 3$ com resto 5 (correto).

A alternativa correta é a E.