Exercício 25 – (ITA, 2018) Se log₂ 𝜋 = 𝑎 e log₅ 𝜋 = 𝑏, então:

Question

Exercício 25 – (ITA, 2018) Se log₂ 𝜋 = 𝑎 e log₅ 𝜋 = 𝑏, então: A) 1 𝑎 + 1 𝑏 ≤ 1 2 B) 1 2 < 1 𝑎 + 1 𝑏 ≤ 1 C) 1 < 1 𝑎 + 1 𝑏 ≤ 3 2 D) 3 2 < 1 𝑎 + 1 𝑏 ≤ 2 E) 2 < 1 𝑎 + 1 �

Sapien IA · Accepted Answer

Exercício 25 – ITA (2018) Alternativa E $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ Análise da Questão Este problema envolve propriedades de logaritmos e mudança de base . Vamos resolver passo a passo. Passo 1: Expressar a e b usando mudança de base Pela fórmula da mudança de base: $$\log x(y) = \frac{\ln(y)}{\ln(x)}$$ Temos: $$a = \log 2(\pi) = \frac{\ln(\pi)}{\ln(2)}$$ $$b = \log 5(\pi) = \frac{\ln(\pi)}{\ln(5)}$$ Passo 2: Calcular $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ $$\frac{1}{a} = \frac{\ln(2)}{\ln(\pi)}$$ $$\frac{1}{b} = \frac{\ln(5)}{\ln(\pi)}$$ Somando: $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{\ln(2) + \ln(5)}{\ln(\pi)} = \frac{\ln(10)}{\ln(\pi)}$$ Usando propriedades de logaritmos novamente: $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \log \pi(10)$$ Passo 3: Estimar o valor numérico | Valor | Aproximação | | | | | $\pi$ | $\approx 3,14159$ | | $\pi^2$ | $\approx 9,8696$ | | $10$ | $10$ | Como $\pi^2 < 10 < \pi^3$ : $$\pi^2 < 10 \Rightarrow \log \pi(\pi^2) < \log \pi(10) \Rightarrow 2 < \log \pi(10)$$ Portanto: $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} 2$$ Verificação das Alternativas | Alternativa | Intervalo | Correta? | | | | | | a) | $\leq 1/2$ | ❌ | | b) | $1/2 < x \leq 1$ | ❌ | | c) | $1 < x \leq 3/2$ | ❌ | | d) | $3/2 < x \leq 2$ | ❌ | | e) | $2 < x$ | ✅ | Conclusão O valor de $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ é estritamente maior que 2, pois $\log \pi(10)$ representa um expoente tal que $\pi^{	ext{expoente}} = 10$, e como $10 \pi^2$, esse expoente deve ser maior que 2. Alternativa E

Explicação passo a passo

Exercício 25 – ITA (2018)

Análise da Questão

Passo 1: Expressar a e b usando mudança de base

Passo 2: Calcular $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Passo 3: Estimar o valor numérico

Verificação das Alternativas

Conclusão

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Alternativa	Intervalo	Correta?
a)	$\leq 1/2$	❌
b)	$1/2 < x \leq 1$	❌
c)	$1 < x \leq 3/2$	❌
d)	$3/2 < x \leq 2$	❌
e)	$2 < x$	✅