Hugo está formando sequências usando o seguinte critério: escolhe-se um termo inicial x₁ e, a partir do segundo, cada termo xₙ₊₁ será a soma dos quadrados dos dígitos do termo anterior xₙ. Por exemplo, se x₁ = 7, então x₂ = 7² = 49, x₃ = 4² + 9² = 97, x₄ = 9² + 7² = 130 e assim continuamente.
Se Hugo iniciar uma sequência com o primeiro termo x₁ = 4, qual o valor do 2026º termo?
16
20
37
42
89

Question

Hugo está formando sequências usando o seguinte critério: escolhe-se um termo inicial x₁ e, a partir do segundo, cada termo xₙ₊₁ será a soma dos quadrados dos dígitos do termo anterior xₙ. Por exemplo, se x₁ = 7, então x₂ = 7² = 49, x₃ = 4² + 9² = 97, x₄ = 9² + 7² = 130 e assim continuamente.

Se Hugo iniciar uma sequência com o primeiro termo x₁ = 4, qual o valor do 2026º termo?

16
20
37
42
89

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa A 16 Para resolver esta questão, precisamos identificar o comportamento da sequência gerada pelo critério descrito. O problema pede o $2026^{\circ}$ termo partindo de $x 1 = 4$. Passo 1: Gerar os termos da sequência Aplicaremos a regra "soma dos quadrados dos dígitos" repetidamente até encontrarmos um padrão de repetição (ciclo): $x 1 = 4$ $x 2 = 4^2 = 16$ $x 3 = 1^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37$ $x 4 = 3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$ $x 5 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89$ $x 6 = 8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$ $x 7 = 1^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 16 + 25 = 42$ $x 8 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$ $x 9 = 2^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$ Análise Matemática Ao calcularmos $x 9$, observamos que o valor retorna a $4$, que é exatamente o valor de $x 1$. Isso indica que a sequência é periódica . O ciclo completo é formado pelos seguintes valores: $$ \{4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20\} $$ Podemos observar as características deste ciclo: Início: 4 Tamanho do Ciclo: 8 termos Regra de Repetição: Todo termo $x n$ será igual a $x {n+8}$. Para encontrar o valor do $2026^{\circ}$ termo, precisamos determinar a posição dele dentro desse ciclo de 8 posições. Para isso, realizamos a divisão de $2026$ por $8$: $$ 2026 \div 8 = 253 	ext{ com resto } 2 $$ Isso significa que a sequência completa o ciclo 253 vezes inteiras e sobram mais 2 termos para chegar ao $2026^{\circ}$ termo. Portanto, o valor procurado corresponde ao $2^{\circ}$ termo do ciclo. Olhando para nossa lista gerada no Passo 1: $1^{\circ}$ termo do ciclo: $4$ $2^{\circ}$ termo do ciclo: $16$ Assim, temos que $x {2026} = x 2 = 16$. Conclusão O valor do $2026^{\circ}$ termo é 16 , correspondendo à Alternativa A . Nota se que a marcação visual na imagem (letra C) está incorreta.

Explicação passo a passo

Análise Matemática

Mais questões de Matemática

Tem outra questão de Matemática?