Mostre que se n é um número inteiro e n³ + 5 é ímpar, então n é par, usando uma demonstração por contraposição.

Resumo da Resposta

A questão solicita uma demonstração matemática utilizando o método da contraposição. O objetivo é provar que se n^3 + 5 é ímpar, então n é par, invertendo a lógica para provar que se n é ímpar, então n^3 + 5 é par.

O raciocínio apresentado na imagem está correto quanto à estratégia lógica e aos cálculos algébricos necessários para validar a propriedade dos números inteiros.

Análise Lógica

Para resolver problemas de lógica matemática onde a afirmação direta é complexa (como verificar paridade de potências), o método da contraposição é frequentemente mais eficiente.

Estrutura da Implicação

Uma proposição condicional tem a forma:
P \Rightarrow Q
Onde:

• **P$**: Hipótese ("$n^3 + 5 é ímpar")
• **Q$**: Tese ("$n é par")

A contraposição consiste em provar a negação inversa:
\neg Q \Rightarrow \neg P

• \neg Q$**: $n não é par (ou seja, n é ímpar**)
• \neg P$**: $n^3 + 5 não é ímpar (ou seja, n^3 + 5 é par**)

Se provamos que "\neg Q implica \neg P$", automaticamente provamos que "$P implica $Q$".

Passo a Passo da Demonstração

Vamos seguir os passos mostrados na imagem, corrigindo algumas notações para maior clareza:

1. Definição de Números Ímpares:
   Um número inteiro n é ímpar se pode ser escrito como:
   n = 2a + 1
   Onde a é um número inteiro qualquer.
2. Substituição na Expressão:
   Substituímos n na expressão n^3 + 5:
   (2a + 1)^3 + 5
3. Desenvolvimento do Cubo:
   Utilizamos a fórmula (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3:
   (2a)^3 + 3(2a)^2(1) + 3(2a)(1)^2 + 1^3 + 5
   = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1 + 5
4. Simplificação e Fatoração:
   Agrupamos os termos constantes ($1 + 5 = 6$):
   8a^3 + 12a^2 + 6a + 6
   Extraímos o fator comum $2$:
   2(4a^3 + 6a^2 + 3a + 3)
5. Conclusão da Paridade:
   Como o resultado é $2 \times (\text{algo inteiro})$, ele é necessariamente par.
   Isso prova que se n é ímpar, então n^3 + 5 é par.

Portanto, pela contraposição, se n^3 + 5 é ímpar, n deve ser par.