Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permanece acesa seja igual a ¼ do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y?

Alternativa B - $5X - 2Y + 10 = 0$

Análise da Questão

Para resolver esta questão, precisamos traduzir as informações do texto em equações matemáticas envolvendo as variáveis X e Y.

1. Identificação das Variáveis e Dados:
O enunciado descreve um ciclo de semáforo com três fases:

• Luz Amarela: Permanece acesa por 5 segundos.
• Luz Verde: Permanece acesa por X segundos.
• Luz Vermelha: Seja seu tempo representado por R segundos.
• Ciclo Completo: Dura Y segundos.

2. Estabelecimento das Relações:
Existem duas relações principais descritas no problema:

• Relação do Tempo Total (Y): O tempo total do ciclo é a soma dos tempos de todas as luzes.
  Y = (\text{Verde}) + (\text{Amarelo}) + (\text{Vermelho})
  Substituindo os valores conhecidos:
  Y = X + 5 + R
• Relação entre Verde e Vermelho: O tempo da luz verde é igual aos dois terços do tempo da luz vermelha.
  X = \frac{2}{3} \cdot R

3. Isolamento e Substituição:
Nossa meta é encontrar uma equação apenas com X e Y, eliminando a variável intermediária R (tempo vermelho).

Primeiro, isolamos R na segunda equação:
X = \frac{2}{3} R \Rightarrow 3X = 2R \Rightarrow R = \frac{3X}{2}

Agora, substituímos essa expressão de R na equação do tempo total (Y):
Y = X + 5 + \frac{3X}{2}

4. Simplificação da Expressão:
Para eliminar a fração, multiplicamos toda a equação por 2:
2 \cdot Y = 2 \cdot \left(X + 5 + \frac{3X}{2}\right)
2Y = 2X + 10 + 3X

Somamos os termos semelhantes ($2X + 3X$):
2Y = 5X + 10

Finalmente, reorganizamos os termos para igualar a zero, conforme o formato das alternativas:
5X - 2Y + 10 = 0

Isso corresponde exatamente à alternativa (B).