No cartão da Mega Sena, uma aposta corresponde à escolha de 6 números diferentes, dos 60 disponíveis. Quantas seriam as apostas possíveis se, ao invés de 60 números fossem escolhidos apenas números de 1 a 20?

Esta imagem contém três questões distintas de matemática. Abaixo, apresento a resolução detalhada para cada uma delas.

Análise da Questão 1

Alternativa C

Enunciado: Cálculo de combinações na Mega Sena (variante).

Conceito:
O problema trata de Combinação Simples, pois a ordem dos números sorteados não importa (apenas quais números foram escolhidos). A fórmula geral é:
C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}

Aplicação:

• Total de números disponíveis (n): 20 (números de 1 a 20).
• Números a escolher (p): 6.
• Objetivo: Encontrar a expressão que representa C_{20,6}.

Análise das opções:

• A) C_6^{60}: Refere-se à Mega Sena original (6 de 60), mas a pergunta pede alteração para 20 números.
• B) A_6^{60}: Representa Agrupamento ou Permutação (ordem importa), incorreto para loterias.
• C) C_6^{20}: Representa a combinação de 20 elementos tomados 6 a 6 (notação variável onde 20 é o total e 6 a escolha). Corresponde ao solicitado.
• D) A_6^{20}: Agrupamento, incorreto.
• E) P_{20}: Permutação simples de todos os elementos, incorreto.

Portanto, a resposta correta é a opção que indica a combinação de 20 itens escolhendo 6.

Análise da Questão 2

Alternativa A

Enunciado: União de conjuntos numéricos (Intervalos Reais).

Conceito:
A operação de União (\cup) entre dois conjuntos resulta em um novo conjunto formado por todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos originais. Em termos de intervalos, unimos as faixas numéricas cobertas.

Análise dos Intervalos:

1. Conjunto A: ]1; 3/2[

• Intervalo aberto de 1 a 1,5.
• Não inclui 1 nem 1,5.

1. Conjunto B: [-1; 5/3]

• Intervalo fechado de -1 a aproximadamente 1,67 ($5/3$).
• Inclui -1 e 1,67.

Operação (A \cup B):

• Observando a reta numérica, o conjunto A está completamente contido dentro do conjunto B?
• O limite inferior de B é -1, que é menor que 1 (limite inferior de A).
• O limite superior de B é $5/3 (\approx 1,66), que é maior que $3/2 (= 1,5).
• Como todo elemento de A também pertence a B (pois $1 > -1$ e $1,5 < 1,66$), temos que A \subset B.
• Logo, a união é igual ao maior conjunto: A \cup B = B.

Resultado: O intervalo resultante é exatamente o conjunto B: [-1; 5/3].

Análise da Questão 3

Alternativa C

Enunciado: Contagem de soluções inteiras não negativas.

Conceito:
Este é um problema clássico de Combinação com Repetição, frequentemente resolvido pelo método "Estrelas e Barras". Queremos encontrar quantos trios (x, y, z) satisfazem a soma n=7.

Fórmula:
O número de soluções inteiras não negativas para a equação x_1 + x_2 + ... + x_k = n é dado por:
C_{n+k-1, k-1}
Onde:

• n = 7 (valor da soma)
• k = 3 (número de variáveis: x, y, z)

Cálculo:
Substituindo os valores na fórmula:
C_{7+3-1, 3-1} = C_{9, 2}

Calculando o valor numérico:
C_{9,2} = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = \frac{72}{2} = 36

Conclusão: Existem 36 soluções possíveis.