Nos itens a seguir, descreva algebraicamente uma regra que permita obter os elementos de cada matriz.

Alternativa Item a: $a_{ij} = i - j$

Alternativa Item b: Regra definida por casos (i<j, i>j, i=j)

Análise Detalhada

Para encontrar a regra algébrica de uma matriz, precisamos relacionar os valores numéricos dentro das células com seus índices (linha i e coluna j).

Item a: Matriz A_{3 \times 2}

A matriz é dada por:
A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}

Vamos analisar a relação entre o índice da linha (i), o índice da coluna (j) e o valor encontrado:

• Linha 1 (i=1):
• j=1 \Rightarrow \text{valor } 0. Note que $1 - 1 = 0$.
• j=2 \Rightarrow \text{valor } -1. Note que $1 - 2 = -1$.
• Linha 2 (i=2):
• j=1 \Rightarrow \text{valor } 1. Note que $2 - 1 = 1$.
• j=2 \Rightarrow \text{valor } 0. Note que $2 - 2 = 0$.
• Linha 3 (i=3):
• j=1 \Rightarrow \text{valor } 2. Note que $3 - 1 = 2$.
• j=2 \Rightarrow \text{valor } 1. Note que $3 - 2 = 1$.

A regra constante para todos os elementos é a subtração do índice da coluna pelo índice da linha:
a_{ij} = i - j

Item b: Matriz B_{3 \times 3}

A matriz é dada por:
B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

Neste caso, não há uma única operação simples para todos os elementos. Precisamos dividir em regiões da matriz:

1. Acima da diagonal principal (i < j):

• Todos os valores são 0.
• Exemplo: b_{12} = 0, b_{13} = 0, b_{23} = 0.

1. Abaixo da diagonal principal (i > j):

• Analisando a soma dos índices:
• b_{21} = 3 ($2 + 1 = 3$)
• b_{31} = 4 ($3 + 1 = 4$)
• b_{32} = 5 ($3 + 2 = 5$)
• A regra é a soma dos índices: i + j.

1. Na diagonal principal (i = j):

• Os valores são 2, 4 e 6.
• Observamos que o valor é sempre o dobro do índice da linha (ou coluna):
• b_{11} = 2 \Rightarrow 2 \times 1
• b_{22} = 4 \Rightarrow 2 \times 2
• b_{33} = 6 \Rightarrow 2 \times 3
• A regra é $2i$ (ou $2j$).

Portanto, a descrição algébrica completa é feita por uma função definida por partes: