O conjunto solução S ∈ ℝ da inequação (-x² - 4x). (x² - 5) < 0 é:

Alternativa E

Para resolver a inequação (-x^2 - 4x).(x^2 - 5) < 0, precisamos encontrar os valores de x que tornam o produto negativo. O processo envolve fatorar as expressões e analisar os sinais nos intervalos definidos pelas raízes.

Análise Passo a Passo

1. Fatoração dos termos:
   O primeiro termo (-x^2 - 4x) pode ser fatorado tirando o -x em evidência:
   -x(x + 4)
   Assim, a inequação fica:
   -x(x + 4)(x^2 - 5) < 0
2. Simplificação do sinal:
   Para facilitar, podemos multiplicar toda a inequação por -1. Lembre-se que ao fazer isso, o sentido da desigualdade se inverte (< vira >):
   x(x + 4)(x^2 - 5) > 0
3. Determinação das raízes (pontos críticos):
   Igualamos cada fator a zero para encontrar os pontos onde o sinal muda:

• x = 0
• x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4
• x^2 - 5 = 0 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5}

Ordenando esses valores na reta numérica (sabendo que \sqrt{5} \approx 2,23):
-4 < -\sqrt{5} < 0 < \sqrt{5}

1. Análise de sinais (Tabela Verdade):
   Testamos um valor representativo de cada intervalo para ver se satisfaz a condição > 0:

1. Montagem do Conjunto Solução:
   Como procuramos onde o resultado é positivo (> 0), selecionamos os intervalos marcados como Positivo na tabela acima:

• ]-\infty, -4[
• ]-\sqrt{5}, 0[
• ]\sqrt{5}, +\infty[

Unindo esses conjuntos, temos:
S = ]-\infty, -4[ \cup ]-\sqrt{5}, 0[ \cup ]\sqrt{5}, +\infty[

Portanto, a alternativa correta é a E.