O estudo de funções é fundamental na matemática, pois as funções desempenham um papel crucial em modelar relações entre variáveis em diversos contextos. Considere uma função f:R⁺ → R⁺ que é crescente e satisfaz a seguinte condição: f(2x)=2f(x), para todo x ∈ R⁺. Se f(4)=8, qual é o valor de f(1)?

Alternativa B

Para resolver esta questão, precisamos utilizar a propriedade funcional dada no enunciado para relacionar os valores conhecidos com o valor desconhecido.

A propriedade fornecida é:
f(2x) = 2f(x)

Isso significa que se multiplicarmos o argumento da função por 2, o resultado da função também será multiplicado por 2.

Análise Detalhada

Podemos calcular o valor de f(1) trabalhando de trás para frente, partindo do valor conhecido f(4).

1. Encontrar f(2):
   Sabemos que f(4) = 8. Podemos escrever 4 como $2 \times 2$. Aplicando a fórmula com x = 2:
   f(2 \cdot 2) = 2f(2)
   f(4) = 2f(2)
   Substituindo o valor de f(4):
   8 = 2f(2)
   Dividindo por 2:
   f(2) = 4
2. Encontrar f(1):
   Agora sabemos que f(2) = 4. Podemos escrever 2 como $2 \times 1$. Aplicando a fórmula com x = 1:
   f(2 \cdot 1) = 2f(1)
   f(2) = 2f(1)
   Substituindo o valor de f(2):
   4 = 2f(1)
   Dividindo por 2:
   f(1) = 2
3. Verificação da Condição Crescente:
   A questão menciona que a função é crescente. Vamos verificar se nossos resultados são consistentes com isso:

• Argumentos: $1 < 2 < 4$
• Valores: f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8
• Relação: $2 < 4 < 8$

Como os valores aumentam conforme os argumentos aumentam, a função é de fato crescente, confirmando a consistência dos dados.

Conclusão

O valor calculado para f(1) é igual a 2. Portanto, a alternativa correta é a B.