O estudo de funções é fundamental na matemática, pois as funções desempenham um papel crucial em modelar relações entre variáveis em diversos contextos. Considere uma função f:R⁺ → R⁺ que é crescente e satisfaz a seguinte condição: f(2x)=2f(x), para todo x ∈ R⁺. Se f(4)=8, qual é o valor de f(1)?

Alternativa B - O valor de f(1) é 2.

Para resolver esta questão, utilizaremos a propriedade funcional fornecida no enunciado para trabalhar de forma regressiva, partindo do valor conhecido até chegar ao valor desconhecido.

Desenvolvimento do Problema

A função f possui a seguinte característica fundamental para qualquer x:
f(2x) = 2f(x)

Isso significa que, se multiplicarmos o argumento da função por 2, o resultado também será multiplicado por 2. Podemos usar essa regra para "desandar" a conta, indo de f(4) até f(1).

Passo 1: Relacionar f(4) com f(2)

Sabemos que f(4) = 8. Podemos expressar o número 4 como $2 \times 2$. Aplicando a fórmula:
f(4) = f(2 \cdot 2) = 2 \cdot f(2)

Como f(4) = 8, substituímos na equação:
8 = 2 \cdot f(2)

Isolando f(2):
f(2) = \frac{8}{2} = 4

Passo 2: Relacionar f(2) com f(1)

Agora sabemos que f(2) = 4. Expressamos o número 2 como $2 \times 1$. Novamente aplicamos a fórmula:
f(2) = f(2 \cdot 1) = 2 \cdot f(1)

Substituímos o valor conhecido de f(2):
4 = 2 \cdot f(1)

Isolando f(1):
f(1) = \frac{4}{2} = 2

Análise das Alternativas

A informação de que a função é crescente garante a consistência do comportamento da função (por exemplo, sugere que f(x) = 2x é um modelo válido, pois é uma função linear crescente), mas o cálculo exato de f(1) baseia-se puramente na propriedade recursiva f(2x)=2f(x).

Conclusão: O valor calculado é exatamente 2, confirmando a Alternativa B.