Alternativa B - 2
Para resolver esta questão, utilizaremos a propriedade funcional fornecida no enunciado para "descer" dos valores conhecidos até o valor desejado.
Análise do Problema
Dados fornecidos:
- A função é f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ (números reais positivos).
- A função é crescente: se x_1 < x_2, então f(x_1) < f(x_2).
- Propriedade algébrica: f(2x) = 2f(x).
- Valor conhecido: f(4) = 8.
- Objetivo: Encontrar f(1).
Passo a Passo da Solução
Podemos utilizar a equação f(2x) = 2f(x) substituindo x por valores estratégicos para relacionar f(4), f(2) e f(1).
- Encontrar f(2):
Sabemos que $4 = 2 \times 2$. Vamos aplicar a fórmula com x = 2:
f(2 \cdot 2) = 2f(2)
f(4) = 2f(2)
Como sabemos que f(4) = 8, substituímos na equação:
8 = 2f(2)
Dividindo ambos os lados por 2:
f(2) = 4
- Encontrar f(1):
Agora precisamos chegar até o argumento 1. Sabemos que $2 = 2 \times 1$. Vamos aplicar a fórmula com x = 1:
f(2 \cdot 1) = 2f(1)
f(2) = 2f(1)
Já calculamos que f(2) = 4. Substituímos esse valor:
4 = 2f(1)
Dividindo ambos os lados por 2:
f(1) = 2
Verificação da Consistência
É importante verificar se o resultado faz sentido com a condição de a função ser crescente.
Comparando os pontos que encontramos:
- Entradas: $1 < 2 < 4$
- Saídas correspondentes: f(1)=2, f(2)=4, f(4)=8
Observe que $2 < 4 < 8$. Como as imagens aumentam conforme as entradas aumentam, a função mantém a propriedade de ser crescente nestes pontos, validando nossa solução. Uma função que satisfaz todas essas condições é f(x) = 2x.
Portanto, o valor de f(1) é 2.