O estudo de funções é fundamental na matemática, pois as funções desempenham um papel crucial em modelar relações entre variáveis em diversos contextos. Considere uma função f: R⁺ → R⁺ que é crescente e satisfaz a seguinte condição: f(2x) = 2f(x), para todo x ∈ R⁺. Se f(4) = 8, qual é o valor de f(1).

Alternativa B - 2

Para resolver esta questão, utilizaremos a propriedade funcional fornecida no enunciado para "descer" dos valores conhecidos até o valor desejado.

Análise do Problema

Dados fornecidos:

• A função é f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ (números reais positivos).
• A função é crescente: se x_1 < x_2, então f(x_1) < f(x_2).
• Propriedade algébrica: f(2x) = 2f(x).
• Valor conhecido: f(4) = 8.
• Objetivo: Encontrar f(1).

Passo a Passo da Solução

Podemos utilizar a equação f(2x) = 2f(x) substituindo x por valores estratégicos para relacionar f(4), f(2) e f(1).

1. Encontrar f(2):
   Sabemos que $4 = 2 \times 2$. Vamos aplicar a fórmula com x = 2:
   f(2 \cdot 2) = 2f(2)
   f(4) = 2f(2)

Como sabemos que f(4) = 8, substituímos na equação:
8 = 2f(2)
Dividindo ambos os lados por 2:
f(2) = 4

1. Encontrar f(1):
   Agora precisamos chegar até o argumento 1. Sabemos que $2 = 2 \times 1$. Vamos aplicar a fórmula com x = 1:
   f(2 \cdot 1) = 2f(1)
   f(2) = 2f(1)

Já calculamos que f(2) = 4. Substituímos esse valor:
4 = 2f(1)
Dividindo ambos os lados por 2:
f(1) = 2

Verificação da Consistência

É importante verificar se o resultado faz sentido com a condição de a função ser crescente.
Comparando os pontos que encontramos:

• Entradas: $1 < 2 < 4$
• Saídas correspondentes: f(1)=2, f(2)=4, f(4)=8

Observe que $2 < 4 < 8$. Como as imagens aumentam conforme as entradas aumentam, a função mantém a propriedade de ser crescente nestes pontos, validando nossa solução. Uma função que satisfaz todas essas condições é f(x) = 2x.

Portanto, o valor de f(1) é 2.