O estudo de funções é fundamental na matemática, pois as funções desempenham um papel crucial em modelar relações entre variáveis em diversos contextos. Considere uma função f: R⁺ → R⁺ que é crescente e satisfaz a seguinte condição: f(2x) = 2f(x), para todo x ∈ R⁺. Se f(4) = 8, qual é o valor de f(1).

Alternativa B - 2

Para resolver esta questão, utilizaremos a propriedade funcional fornecida no enunciado para "descer" dos valores conhecidos até o valor desejado.

Análise do Problema

Dados fornecidos:

• A função é $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ (números reais positivos).
• A função é crescente: se $x1 < x2$, então $f(x1) < f(x2)$.
• Propriedade algébrica: $f(2x) = 2f(x)$.
• Valor conhecido: $f(4) = 8$.
• Objetivo: Encontrar $f(1)$.

Passo a Passo da Solução

Podemos utilizar a equação $f(2x) = 2f(x)$ substituindo $x$ por valores estratégicos para relacionar $f(4)$, $f(2)$ e $f(1)$.

1. Encontrar $f(2)$:
   Sabemos que $4 = 2 \times 2$. Vamos aplicar a fórmula com $x = 2$:
   $$f(2 \cdot 2) = 2f(2)$$
   $$f(4) = 2f(2)$$

Como sabemos que $f(4) = 8$, substituímos na equação:
$$8 = 2f(2)$$
Dividindo ambos os lados por 2:
$$f(2) = 4$$

1. Encontrar $f(1)$:
   Agora precisamos chegar até o argumento 1. Sabemos que $2 = 2 \times 1$. Vamos aplicar a fórmula com $x = 1$:
   $$f(2 \cdot 1) = 2f(1)$$
   $$f(2) = 2f(1)$$

Já calculamos que $f(2) = 4$. Substituímos esse valor:
$$4 = 2f(1)$$
Dividindo ambos os lados por 2:
$$f(1) = 2$$

Verificação da Consistência

É importante verificar se o resultado faz sentido com a condição de a função ser crescente.
Comparando os pontos que encontramos:

• Entradas: $1 < 2 < 4$
• Saídas correspondentes: $f(1)=2$, $f(2)=4$, $f(4)=8$

Observe que $2 < 4 < 8$. Como as imagens aumentam conforme as entradas aumentam, a função mantém a propriedade de ser crescente nestes pontos, validando nossa solução. Uma função que satisfaz todas essas condições é $f(x) = 2x$.

Portanto, o valor de $f(1)$ é 2.