O lucro L obtido com a comercialização de Q unidades de um modelo de ventilador fabricado pela empresa Vent-lar pode ser estimado pela função L(Q) = -0,002Q² + 9Q - 4.950 com L em reais. O lucro máximo que pode ser obtido é

Alternativa D

O problema apresenta uma função do segundo grau (quadrática) que modela o lucro de uma empresa. Para encontrar o lucro máximo, precisamos determinar o valor do vértice dessa parábola.

A função é dada por $L(Q) = -0,002Q^2 + 9Q - 4.950$.

Análise Matemática

1. Identificação dos coeficientes:
   Comparando com a forma padrão $ax^2 + bx + c$:

• $a = -0,002$
• $b = 9$
• $c = -4.950$

Como $a < 0$, a parábola tem concavidade para baixo, indicando que existe um ponto de máximo.

1. Cálculo da quantidade óptima ($Q_v$):
   Primeiro, encontramos a abscissa do vértice (quantidade de ventiladores que gera o lucro máximo):
   $$Q_v = \frac{-b}{2a}$$
   $$Q_v = \frac{-9}{2 \times (-0,002)} = \frac{-9}{-0,004}$$
   $$Q_v = \frac{9.000}{4} = 2.250$$

Atenção: O valor 2.250 (Alternativa A) representa a quantidade de unidades vendidas, e não o valor monetário do lucro.

1. Cálculo do Lucro Máximo ($L_{max}$):
   Substituímos $Q_v$ na função original para encontrar o lucro:
   $$L(2.250) = -0,002(2.250)^2 + 9(2.250) - 4.950$$

Calculando os termos:

• $(2.250)^2 = 5.062.500$
• Primeiro termo: $-0,002 \times 5.062.500 = -10.125$
• Segundo termo: $9 \times 2.250 = 20.250$
• Terceiro termo: $-4.950$

Somando tudo:
$$L_{max} = -10.125 + 20.250 - 4.950$$
$$L_{max} = 10.125 - 4.950$$
$$L_{max} = 5.175$$

Portanto, o lucro máximo obtido é de 5.175 reais.

Alternativa D.