Alternativa D - 5.175 reais
Para encontrar o lucro máximo, precisamos determinar o valor do vértice Y_v da função quadrática apresentada no enunciado.
A função dada é:
L(Q) = -0,002Q^2 + 9Q - 4.950
Esta é uma função do segundo grau na forma ax^2 + bx + c, onde:
- a = -0,002
- b = 9
- c = -4.950
Como o coeficiente a é negativo (a < 0), a parábola tem concavidade voltada para baixo, indicando que existe um ponto de máximo (vértice).
Cálculo do Lucro Máximo
O valor máximo da função é dado pela ordenada do vértice (Y_v). Existem duas formas principais de calcular:
Método 1: Substituição (Mais comum)
Primeiro, calculamos a quantidade de ventiladores (Q) que gera o lucro máximo usando a abscissa do vértice (X_v):
X_v = \frac{-b}{2a}
Substituindo os valores:
X_v = \frac{-9}{2 \cdot (-0,002)}
X_v = \frac{-9}{-0,004}
X_v = 2.250 \text{ unidades}
Agora, substituímos esse valor de Q (2.250) na função original para achar o lucro (L):
L(2250) = -0,002(2250)^2 + 9(2250) - 4.950
Calculando termo a termo:
- $2250^2 = 5.062.500$
- -0,002 \cdot 5.062.500 = -10.125
- $9 \cdot 2250 = 20.250$
Somando tudo:
L = -10.125 + 20.250 - 4.950
L = 10.125 - 4.950
L = 5.175
Método 2: Fórmula do Delta
Podemos usar a fórmula direta para o vértice Y_v:
Y_v = \frac{-\Delta}{4a}
Onde \Delta = b^2 - 4ac:
\Delta = 9^2 - 4(-0,002)(-4.950)
\Delta = 81 - 39,6
\Delta = 41,4
Agora, calculamos Y_v:
Y_v = \frac{-41,4}{4(-0,002)}
Y_v = \frac{-41,4}{-0,008}
Y_v = 5.175
Análise das Alternativas
| Alternativa | Valor | Significado no contexto |
|---|
| A | 2.250 reais | Corresponde à quantidade Q (abscissa do vértice), não ao lucro. |
| B | 6.750 reais | Valor incorreto de cálculo. |
| C | 4.950 reais | Corresponde ao módulo do termo independente c. |
| D | 5.175 reais | Correto. Representa o valor máximo da função (ordenada do vértice). |
| E | 1.788 reais | Valor incorreto de cálculo. |
Conclusão:
O lucro máximo que a empresa pode obter é de 5.175 reais, correspondendo à alternativa D.