O número de maneiras distintas de escolher e as 5 estações ao longo do anel que serão ativadas, de modo que não tenhamos problemas com interferência, é:

Resolução das Questões

A imagem apresenta três questões matemáticas relacionadas a combinatória, probabilidade e funções quadráticas. Abaixo, apresento a análise detalhada de cada uma delas.

Questão 42

Alternativa B

Esta questão trata de combinatória aplicada a um problema de restrição em arranjo circular.

• Total de maneiras sem restrição:
  Devemos escolher 5 estações entre 8 disponíveis. A ordem não importa, apenas quais são selecionadas.
  \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \text{ maneiras}
• Casos proibidos (Interferência):
  O problema estabelece que há interferência se as estações E1 e E2 forem ativadas simultaneamente e estiverem adjacentes. Assumindo que elas sejam consideradas vizinhas no anel para fins da restrição:

1. Precisamos incluir obrigatoriamente E1 e E2 na seleção.
2. Sobram 3 vagas para preencher entre as 6 estações restantes (já que 2 foram usadas).
3. O cálculo é:
   \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \text{ casos}

• Cálculo final:
  Subtraímos os casos proibidos do total geral para encontrar as configurações válidas.
  56 - 20 = 36 \text{ maneiras}

Questão 43

Alternativa B

Esta questão envolve conceitos básicos de probabilidade e definição de números primos.

• Espaço Amostral:
  O sensor registra um valor inteiro qualquer entre 1 e 15. Portanto, existem 15 resultados possíveis equiprováveis.
  \text{Total} = 15
• Eventos Favoráveis:
  Precisamos identificar os números que são primos e maiores que 5.
  Os números primos entre 1 e 15 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
  Filtrando apenas aqueles maiores que 5:
  \{7, 11, 13\}
  Existem 3 números favoráveis.
• Cálculo da Probabilidade:
  A probabilidade é a razão entre eventos favoráveis e o total de possibilidades.
  P = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}

Questão 44

Alternativa B

Esta questão requer a modelagem de uma função quadrática para encontrar o ponto de máximo (vértice da parábola).

• Modelagem da Função:
  Seja P(n) = an^2 + bn + c a potência no ciclo n.
  Temos os pontos dados:

1. P(1) = 33 \Rightarrow a + b + c = 33
2. P(2) = 47 \Rightarrow 4a + 2b + c = 47
3. P(3) = 57 \Rightarrow 9a + 3b + c = 57

• Determinação dos Coeficientes:
  Calculando as diferenças sucessivas (método rápido para quadráticas):
• $47 - 33 = 14$
• $57 - 47 = 10$
• Diferença das diferenças: $10 - 14 = -4$ (que corresponde a $2a$)

Logo, $2a = -4 \Rightarrow a = -2$.
Como a é negativo, a parábola abre para baixo, indicando um máximo.

• Encontrando o Vértice:
  Usando a fórmula do vértice n_v = -\frac{b}{2a}:
  Resolvendo o sistema linear completo obtém-se b = 20 e c = 15.
  n_v = -\frac{20}{2(-2)} = -\frac{20}{-4} = 5

Portanto, a potência será máxima no ciclo 5.

Conclusão

As respostas corretas para as questões 42, 43 e 44 são, respectivamente:

• 42: Alternativa B (36)
• 43: Alternativa B (1/5)
• 44: Alternativa B (5)