Observe, na tabela abaixo, alguns valores do domínio de uma função de 2º grau f e suas respectivas imagens f(x). Qual é a lei de formação dessa função f?

Resolução da Atividade 32

A lei de formação da função de 2º grau solicitada é $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$.

Para encontrar essa lei, precisamos determinar os coeficientes a, b e c da forma geral da função quadrática f(x) = ax^2 + bx + c. Utilizamos os valores fornecidos na tabela para montar um sistema de equações.

Passo a Passo da Solução

1. Identificar o termo independente (c):
   Observamos o par ordenado onde x = 0. Isso simplifica muito o cálculo, pois elimina os termos com x.
   f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 1
   \Rightarrow c = 1
2. Montar o sistema de equações:
   Com c = 1, substituímos os demais pontos (-1, 2) e (1, 6) na equação f(x) = ax^2 + bx + 1.

• Para o ponto (-1, 2):
  a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 2
  a - b + 1 = 2
  a - b = 1 (Equação I)
• Para o ponto (1, 6):
  a(1)^2 + b(1) + 1 = 6
  a + b + 1 = 6
  a + b = 5 (Equação II)

1. Resolver o sistema:
   Somamos as duas equações para eliminar b:
   \begin{array}{r} a - b = 1 \\ + \quad a + b = 5 \\ \hline 2a = 6 \Rightarrow a = 3 \end{array}

Agora, substituímos a = 3 em qualquer uma das equações para achar b:
3 + b = 5 \Rightarrow b = 2

1. Construir a função final:
   Substituindo os valores encontrados (a=3, b=2, c=1) na forma geral:
   f(x) = 3x^2 + 2x + 1

Verificação dos Resultados

Para garantir que a resposta está correta, testamos os valores originais na função encontrada:

Portanto, a lei de formação da função é confirmada.