Os números metálicos representam as raízes positivas da equação quadrática x² – px – q = 0, em que p e q são números naturais quaisquer. Os mais famosos são o número de ouro φ = 1 + √5 / 2 e o número de prata σ = 1 + √2. Disponível em: www.pmo.sbm.org.br. Acesso em: 4 set. 2025 (adaptado). Ao analisar a razão entre duas medidas, um técnico de laboratório obteve um valor k expresso, em função do número de prata, por k = σ³ – σ. Uma maneira adequada de representar o valor de k utilizando números reais é

Alternativa E

O problema solicita o cálculo do valor de k utilizando a expressão k = \sigma^3 - \sigma, onde \sigma é o número de prata definido como $1 + \sqrt{2}$. Para resolver, precisamos realizar operações algébricas com radicais e potências.

Análise Detalhada

Podemos resolver essa questão simplificando a expressão antes de substituir os valores ou calculando diretamente. Vamos utilizar o método de fatoração para tornar os cálculos mais simples:

1. Fatorar a expressão de $k$:
   k = \sigma^3 - \sigma
   k = \sigma(\sigma^2 - 1)
2. Calcular o quadrado de $\sigma$:
   Sabendo que \sigma = 1 + \sqrt{2}, elevamos ao quadrado:
   \sigma^2 = (1 + \sqrt{2})^2
   Aplicando a propriedade (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:
   \sigma^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2
   \sigma^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2
   \sigma^2 = 3 + 2\sqrt{2}
3. Substituir na expressão fatorada:
   Agora substituímos \sigma^2 na fórmula de k:
   k = \sigma((3 + 2\sqrt{2}) - 1)
   k = \sigma(2 + 2\sqrt{2})
4. Substituir o valor de \sigma e multiplicar:
   k = (1 + \sqrt{2})(2 + 2\sqrt{2})
   Desenvolvendo a multiplicação termo a termo:
   k = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}
   k = 2 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 2(2)
   k = 2 + 4\sqrt{2} + 4
   k = 6 + 4\sqrt{2}

Alternativamente, poderia-se calcular \sigma^3 diretamente via expansão binomial (1+\sqrt{2})^3 = 1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2} e subtrair \sigma, chegando ao mesmo resultado: (7 + 5\sqrt{2}) - (1 + \sqrt{2}) = 6 + 4\sqrt{2}.

Conclusão

O valor calculado para k é $6 + 4\sqrt{2}$, o que corresponde exatamente à alternativa apresentada.

Alternativa E.