Para diversas situações do dia a dia podemos notar que a matemática está presente. Por exemplo, podemos considerar a congruência de dois números com um relógio de ponteiros, onde em nosso mundo, um relógio é numerado de 1 a 12. Considere um relógio de ponteiros hipotético que só possui duas marcações de numeração: 1 e 2. Com base na Aritmética Modular, analise as assertivas a seguir: Podemos dizer que a expressão de congruência do relógio hipotético é da forma a ≡ b (mod 2), sendo a e b números inteiros. II. Considere que dois números a e b, inteiros quaisquer, são congruentes módulo 2. Neste caso, podemos afirmar que se a é um número par, então b é um número ímpar (e vice-versa). III. Sendo a e b, inteiros quaisquer: se a ≡ b (mod n), então b ≡ a (mod n). IV. Como o relógio hipotético possui a marcação apenas dos números 1 e 2, não será possível que números quais ou menores que zero sejam congruentes com os valores de 1 ou 2, apenas valores inteiros e positivos. Estão corretas apenas as itens:

Alternativa B - I, III

Análise Detalhada

Vamos examinar cada assertiva com base nos conceitos de Aritmética Modular:

Item I: Correto

O enunciado descreve um relógio hipotético com apenas duas marcações (1 e 2). Isso significa que após o número 2, o ciclo reinicia no número 1.

• Em aritmética modular, quando há um ciclo de tamanho n, utilizamos o módulo $n$.
• Como existem apenas 2 posições distintas repetindo-se, o módulo correto é 2.
• Portanto, a relação entre as horas segue a forma a \equiv b \pmod 2.

Item II: Incorreto

Esta assertiva confunde a definição de congruência. Dois números são congruentes módulo 2 se tiverem o mesmo resto na divisão por 2.

• Se a é par (resto 0), b também deve ser par para serem congruentes.
• Se a é ímpar (resto 1), b também deve ser ímpar.
• Exemplo: $2 \equiv 4 \pmod 2$ (ambos pares). A afirmação de que um par implica um ímpar está errada.

Item III: Correto

Esta assertiva descreve a propriedade da simetria nas relações de equivalência.

• Na congruência modular, se a é congruente a b, então b é necessariamente congruente a a.
• Formalmente: Se a \equiv b \pmod n, então b \equiv a \pmod n.
• Isso é uma das propriedades fundamentais das relações de equivalência.

Item IV: Incorreto

A aritmética modular é definida para o conjunto dos inteiros (\mathbb{Z}), o que inclui números negativos e o zero.

• O conceito de "tempo" pode ser estendido para trás (horas negativas).
• Exemplo: -1 é congruente a $1$ módulo 2, pois a diferença (-1 - 1) = -2, que é divisível por 2.
• A restrição de usar apenas inteiros positivos não existe na matemática formal.

Conclusão

Com base na análise acima, apenas as assertivas I e III estão corretas.

Portanto, a alternativa correta é a B.