Para existir solução em uma dada equação diofantina linear com duas variáveis, é necessário que o seguinte teorema seja atendido: sejam a e b inteiros e d = mdc (a, b). Se d \xc2\xb0 c, então a equação ax + by = c não possui solução inteira. Se d \xc2\xb0 c, então $\begin{cases} x = x0 + \frac{b}{d}t \\ y = y0 - \frac{a}{d}t \end{cases}$, com t \xc2\x88 Z. Considerando essas informações, encontre a solução geral da equação 5x + 12y = 81, sendo que suas soluções pertencem ao conjunto dos números inteiros, assinalando a alternativa correta.

Para resolver esta questão, precisamos aplicar os conceitos de Equação Diofantina Linear, utilizando as informações fornecidas no próprio enunciado.

Fundamentação Teórica

Uma equação diofantina linear da forma ax + by = c possui soluções inteiras se, e somente se, o máximo divisor comum (MDC) dos coeficientes a e b dividir o termo independente c.

Seja d = \text{mdc}(a, b). As soluções gerais são dadas pelo sistema:

Onde (x_0, y_0) é uma solução particular qualquer que satisfaça a equação.

Análise Detalhada

Vamos analisar a equação proposta: $5x + 12y = 81$.

1. Identificar os coeficientes:

• a = 5
• b = 12
• c = 81

1. Calcular o MDC (d):
   d = \text{mdc}(5, 12) = 1
   Como $1$ divide $81$, a equação possui infinitas soluções inteiras.
2. Determinar a estrutura da solução geral:
   Substituindo a, b e d na fórmula do enunciado:

• Coeficiente de t em x: \frac{b}{d} = \frac{12}{1} = 12
• Coeficiente de t em y: -\frac{a}{d} = -\frac{5}{1} = -5

Portanto, a solução geral deve ter a forma:
S = \{(x_0 + 12t, y_0 - 5t) \mid t \in \mathbb{Z}\}

Observando as alternativas, apenas a Alternativa A e a Alternativa B seguem essa estrutura de coeficientes ($12t$ e -5t). As outras possuem coeficientes incorretos ou constantes que não fazem sentido.

1. Verificar a solução particular (x_0, y_0):
   Precisamos encontrar qual par (x_0, y_0) satisfaz a equação original $5x + 12y = 81$. Vamos testar os pares propostos nas opções restantes:

• Teste na Alternativa A: Par (5, 162)
  5(5) + 12(162) = 25 + 1944 = 1969 \neq 81
  (Incorreta)
• Teste na Alternativa B: Par (405, -162)
  5(405) + 12(-162) = 2025 - 1944 = 81
  (Correta!)

Embora o número $405$ pareça grande, ele é válido pois faz parte da sequência infinita de soluções (é equivalente a $9 + 12 \times 33$). O importante é que a substituição na equação original resulte em $81$.

Conclusão

A alternativa correta é a B, pois apresenta os coeficientes corretos para o parâmetro t ($12$ e -5) e utiliza um par de números inteiros (405, -162) que satisfaz perfeitamente a equação $5x + 12y = 81$.

Alternativa B