Para qualquer inteiro positivo n, 2ⁿ + 1 é primo. Nesse contexto, analise as afirmações a seguir de tal forma que seja possível demonstrar que tal proposição é verdadeira. Os fatores são quase impossíveis de localizar manualmente. Os quatro inteiros positivos produzem um número primo; II. n = 1, 2^2¹ + 1 = 5, é primo n = 3, 2^2³ + 1 = 257; é primo III. n = 5, 2^2⁵ + 1 = 4294967297 = 641 X 6700417; NÃO é primo. É correto o que se afirma em:

Alternativa E

A questão aborda os Números de Fermat, definidos pela fórmula F_n = 2^{2^n} + 1, onde n é um inteiro positivo. Pierre de Fermat conjecturou que todos esses números seriam primos. Vamos analisar cada afirmação para determinar sua veracidade:

Análise das Afirmações

1. Afirmação I: "Os fatores são quase impossíveis de localizar manualmente. Os quatro inteiros positivos produzem um número primo"

• Esta afirmação é Correta. Os números gerados por essa fórmula crescem exponencialmente rápido ($2^{2^n}), tornando a fatoração extremamente difícil para valores maiores de $n. Historicamente, até Euler, acreditava-se que os primeiros casos funcionavam. Os quatro primeiros valores (n=1, 2, 3, 4) de fato resultam em números primos.

1. Afirmação II: "n = 1, ..., n = 4; é primo"

• Esta afirmação é Correta e detalha a verificação da conjectura inicial:
• Para n=1: $2^{2^1} + 1 = 2^2 + 1 = 5$ (Primo)
• Para n=2: $2^{2^2} + 1 = 2^4 + 1 = 17$ (Primo)
• Para n=3: $2^{2^3} + 1 = 2^8 + 1 = 257$ (Primo)
• Para n=4: $2^{2^4} + 1 = 2^{16} + 1 = 65537$ (Primo)
• Todos os cálculos apresentados na imagem estão corretos.

1. Afirmação III: "n = 5... NÃO é primo"

• Esta afirmação é Correta. Leonhard Euler provou em 1732 que o quinto número de Fermat não é primo.
• O cálculo correto é: $2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4.294.967.297$.
• Este número pode ser fatorado como $641 \times 6.700.417$. Como possui divisores além de 1 e ele mesmo, não é primo.

Conclusão

Embora a proposição inicial ("Para qualquer inteiro positivo n... é primo") seja falsa devido ao contraexemplo fornecido na Afirmação III, as três afirmações individuais (I, II e III) descrevem fatos matemáticos e históricos corretos sobre os Números de Fermat. Portanto, todas elas são verdadeiras.

Alternativa E