Poliana está organizando uma dinâmica de grupo com 10 participantes. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.

Análise da Questão de Combinatória

Esta questão aborda conceitos fundamentais de Análise Combinatória, especificamente Arranjo, Permutação Circular e Agrupamentos com partes iguais. O objetivo é julgar a veracidade de três afirmações matemáticas baseadas em uma situação hipotética de 10 participantes.

Gabarito Resumido

## Desenvolvimento Detalhado

Item 20: Líder e Vice-Líder

Este item trata de uma escolha onde a ordem importa (ser líder é diferente de ser vice-líder). Portanto, utilizamos o Arranjo Simples.

• Conceito: Escolher p elementos distintos entre n disponíveis, considerando a ordem.
• Fórmula: A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}
• Aplicação: Temos n=10 participantes e queremos escolher p=2 cargos.
  A_{10,2} = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90
• Conclusão: A afirmação está correta.

Item 21: Roda de Participantes

Quando organizamos pessoas em uma roda (círculo), a posição relativa é que importa, não a posição absoluta. Isso caracteriza uma Permutação Circular.

• Conceito: Dispor n elementos em círculo. Fixamos um elemento para evitar contagens repetidas equivalentes por rotação.
• Fórmula: PC_n = (n-1)!
• Aplicação: Com n=10 participantes:
  PC_{10} = (10-1)! = 9!
• Erro na questão: O item afirma que é $10!$, o que corresponderia a uma disposição linear (fila), não circular.
• Conclusão: A afirmação está errada.

Item 22: Divisão em Grupos

Este item envolve dividir um conjunto em subconjuntos de tamanhos específicos. Atenção especial deve ser dada se houver grupos com o mesmo número de elementos.

• Situação: 10 pessoas divididas em 3 grupos:
• Grupo A: 4 pessoas
• Grupo B: 3 pessoas
• Grupo C: 3 pessoas
• Regra de Ouro: Se dois ou mais grupos têm o mesmo tamanho, devemos dividir o resultado pelo fatorial do número de grupos iguais para evitar duplicidade de contagem. Aqui, temos dois grupos de 3, então dividimos por $2!$.
• Cálculo:
  N = \frac{\binom{10}{4} \times \binom{6}{3} \times \binom{3}{3}}{2!}
  N = \frac{210 \times 20 \times 1}{2} = \frac{4200}{2} = 2.100
• Erro na questão: O cálculo apresentado (4.200) ignora a divisão por $2!$.
• Conclusão: A afirmação está errada.

## Conclusão Final

A análise dos cálculos confirma que apenas o primeiro item está matematicamente correto. Os itens 21 e 22 falham ao aplicar fórmulas incorretas para permutação circular e agrupamento com partes iguais, respectivamente.

Resumo das respostas:

• Item 20: Certo
• Item 21: Errado
• Item 22: Errado