Quais expressões são equivalentes a \[7^{-2}\\cdot 7^6\]?

Para resolver esta questão, precisamos encontrar as expressões que têm o mesmo valor numérico da expressão dada: $7^{-2} \cdot 7^6$.

Análise da Expressão Original

Primeiro, simplificamos a expressão inicial utilizando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base. Quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes:

Aplicando isso ao nosso caso:

Portanto, qualquer alternativa que resulte em $7^4$ será correta.

Avaliação das Alternativas

Agora vamos verificar cada opção para ver qual delas equivale a $7^4$.

Alternativa A: \dfrac{7^2}{7^{-2}}

Utilizamos a propriedade da divisão de potências de mesma base, onde subtraímos os expoentes:
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Esta alternativa está correta.

Alternativa B: \dfrac{7^6}{7^{-2}}

Aplicando a mesma regra de divisão:
\frac{7^6}{7^{-2}} = 7^{6 - (-2)} = 7^{6 + 2} = 7^8
Como $7^8 \neq 7^4$, esta alternativa está incorreta.

Alternativa C: $7^{-12}$

Este resultado poderia ser obtido se multiplicássemos os expoentes (-2 \times 6), o que não é válido nesta operação.
7^{-12} \neq 7^4
Esta alternativa está incorreta.

Alternativa D: (7^2)^2

Utilizamos a propriedade da potência de uma potência, onde multiplicamos os expoentes:
(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Esta alternativa está correta.

Conclusão

As duas expressões equivalentes à original são a A e a D.

Alternativa A e Alternativa D