Quais expressões são equivalentes a \[7^{-2}\\cdot 7^6\]?

Para resolver esta questão, precisamos encontrar as expressões que têm o mesmo valor numérico da expressão dada: $7^{-2} \cdot 7^6$.

Análise da Expressão Original

Primeiro, simplificamos a expressão inicial utilizando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base. Quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Aplicando isso ao nosso caso:

$$7^{-2} \cdot 7^6 = 7^{-2 + 6} = 7^4$$

Portanto, qualquer alternativa que resulte em $7^4$ será correta.

Avaliação das Alternativas

Agora vamos verificar cada opção para ver qual delas equivale a $7^4$.

Alternativa A: $\dfrac{7^2}{7^{-2}}$

Utilizamos a propriedade da divisão de potências de mesma base, onde subtraímos os expoentes:
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

$$\frac{7^2}{7^{-2}} = 7^{2 - (-2)} = 7^{2 + 2} = 7^4$$
Esta alternativa está correta.

Alternativa B: $\dfrac{7^6}{7^{-2}}$

Aplicando a mesma regra de divisão:
$$\frac{7^6}{7^{-2}} = 7^{6 - (-2)} = 7^{6 + 2} = 7^8$$
Como $7^8 \neq 7^4$, esta alternativa está incorreta.

Alternativa C: $7^{-12}$

Este resultado poderia ser obtido se multiplicássemos os expoentes ($-2 \times 6$), o que não é válido nesta operação.
$$7^{-12} \neq 7^4$$
Esta alternativa está incorreta.

Alternativa D: $(7^2)^2$

Utilizamos a propriedade da potência de uma potência, onde multiplicamos os expoentes:
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$(7^2)^2 = 7^{2 \cdot 2} = 7^4$$
Esta alternativa está correta.

Conclusão

As duas expressões equivalentes à original são a A e a D.

Alternativa A e Alternativa D