Qual a fração geratriz da dízima periódica 0,4̄?

Question

Qual a fração geratriz da dízima periódica 0,4̄? A) $$\dfrac{4}{10}$$ B) $$\dfrac{4}{9}$$ C) $$\dfrac{4}{99}$$ D) $$\dfrac{9}{4}$$

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa B Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, utilizamos um método direto que relaciona o período da dízima com números formados por noves. Regra da Fração Geratriz Uma dízima periódica simples é aquela em que o período começa imediatamente após a vírgula. Para convertê la em fração: O numerador é formado pelo próprio período (o número que se repete). O denominador é formado por tantos algarismos iguais a nove quantos forem os dígitos do período. No caso de $0,\overline{4}$: O período é 4 . Existem 1 dígito no período. Logo, o denominador será um único 9 . $$0,\overline{4} = \frac{4}{9}$$ Demonstração Algébrica Podemos confirmar esse resultado usando álgebra para entender o "porquê" da regra funcionar: 1. Seja $x = 0,\overline{4} = 0,4444...$ 2. Multiplique por 10 (pois há 1 casa decimal repetitiva): $$10x = 4,4444...$$ 3. Subtraia a equação original da multiplicada: $$10x x = 4,4444... 0,4444...$$ $$9x = 4$$ 4. Isolar $x$: $$x = \frac{4}{9}$$ Análise das Alternativas | Alternativa | Fração | Valor Decimal | Correto? | | | | | | | A | $\frac{4}{10}$ | $0,4$ | ✗ (Decima finita) | | B | $\frac{4}{9}$ | $0,444...$ | ✓ (Correto) | | C | $\frac{4}{99}$ | $0,0404...$ | ✗ (Período 04) | | D | $\frac{9}{4}$ | $2,25$ | ✗ (Maior que 1) | A alternativa B é a única que representa corretamente a dízima $0,\overline{4}$.

Explicação passo a passo

Regra da Fração Geratriz

Demonstração Algébrica

Análise das Alternativas

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Alternativa	Fração	Valor Decimal	Correto?
A	$\frac{4}{10}$	$0,4$	✗ (Decima finita)
B	$\frac{4}{9}$	$0,444...$	✓ (Correto)
C	$\frac{4}{99}$	$0,0404...$	✗ (Período 04)
D	$\frac{9}{4}$	$2,25$	✗ (Maior que 1)