Quantas filas podem ser formadas com oito pessoas se duas delas devem permanecer juntas?

Alternativa C

Este é um problema clássico de Análise Combinatória, especificamente envolvendo Permutação com elementos agrupados.

Para resolver, utilizamos o método do agrupamento, onde transformamos as pessoas que devem ficar juntas em uma única unidade.

Análise

1. Formação das Unidades:

• Temos um total de 8 pessoas.
• Como 2 delas devem permanecer juntas, tratamos esse par como um único "bloco" ou unidade.
• Assim, ao invés de 8 indivíduos, passaremos a ter: $6 \text{ pessoas} + 1 \text{ bloco} = 7 \text{ unidades}$.

1. Arranjo das Unidades:

• O número de formas de organizar essas 7 unidades em fila é dado pela permutação simples de 7 elementos (P_7):
  P_7 = 7!
  7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5.040

1. Permutação Interna do Bloco:

• Dentro desse bloco formado pelas duas pessoas específicas, elas podem trocar de posição entre si (ex: Pessoa X na frente de Y, ou Y na frente de X).
• Isso corresponde a uma permutação de 2 elementos (P_2):
  P_2 = 2! = 2 \times 1 = 2

1. Cálculo Final (Princípio Fundamental da Contagem):

• Multiplicamos o número de arranjos externos pelo número de arranjos internos:
  \text{Total} = 7! \times 2!
  \text{Total} = 5.040 \times 2 = 10.080

Portanto, existem 10.080 formas distintas de formar a fila respeitando a condição imposta.