Quantas ternas (x, y, z) são soluções da equação 1/x + 1/y = 1/z, tais que x e y são números primos e z é inteiro positivo?

Alternativa B - Uma

Análise Matemática

Para resolver este problema, precisamos encontrar o número de ternas (x, y, z) que satisfazem a equação dada sob as condições impostas.

1. Isolamento da variável z

Primeiro, reescrevemos a equação para expressar z em função de x e y:

Para que z seja um inteiro positivo, o denominador (x + y) deve ser um divisor do numerador (xy).

2. Propriedades dos Números Primos

Temos duas variáveis, x e y, que são números primos. Existem apenas dois cenários possíveis para a relação entre eles quanto ao seu Máximo Divisor Comum (MDC):

• Cenário 1: x e y são primos diferentes (x \neq y).
  Neste caso, eles são coprimos, ou seja, \text{mdc}(x, y) = 1.
  Quando x e y são primos distintos, também podemos afirmar que \text{mdc}(x+y, xy) = 1.
  Isso significa que x+y não possui fatores em comum com x nem com y. Portanto, a única forma de x+y dividir xy é se x+y = 1.
  Porém, como x e y são primos, o menor valor possível para cada é 2. Logo, x + y \geq 4.
  Conclusão: Não existem soluções neste cenário.
• Cenário 2: x e y são o mesmo número primo (x = y).
  Substituímos y por x na expressão de z:
  z = \frac{x \cdot x}{x + x} = \frac{x^2}{2x} = \frac{x}{2}
  Para que z seja um inteiro, x precisa ser divisível por 2.
  Como x é um número primo, o único número primo par é o número 2.
  Portanto, devemos ter x = 2.

3. Cálculo da Solução

Com x = 2 e y = 2, calculamos z:
z = \frac{2}{2} = 1
Esta é uma solução válida, pois z=1 é um inteiro positivo. A terna é (2, 2, 1).

Verificação:
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = \frac{1}{1}

Resumo das Soluções

Não há outras combinações possíveis.

Conclusão

Existem exatamente uma terna que satisfaz todas as condições da equação.

Alternativa B.