Reescreva como uma fração simplificada. 0,16̄ = ?

Resposta: A fração simplificada é \frac{1}{6}.

Este problema envolve encontrar a fração geratriz de um número decimal misto, onde existe uma parte não periódica antes da repetição infinita.

Determinando a Fração Geratriz

Para transformar $0,1\overline{6}$ em fração, utilizaremos o método algébrico que isola a parte periódica.

Passo 1: Definir a variável

Seja x o valor do número decimal:
x = 0,1\overline{6}

Isso significa que:
x = 0,16666...

Passo 2: Multiplicar para deslocar a vírgula

Precisamos criar equações onde a parte decimal após a vírgula seja idêntica para subtrairmos as equações.

1. Multiplique por 10 para levar o primeiro dígito à esquerda da vírgula:
   10x = 1,6\overline{6}
2. Multiplique por 100 para levar dois dígitos à esquerda da vírgula (incluindo o período):
   100x = 16,6\overline{6}

Passo 3: Subtrair as equações

Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a parte periódica infinita:

Passo 4: Isolar x

Dividimos ambos os lados por 90:
x = \frac{15}{90}

Simplificação da Fração

A fração obtida \frac{15}{90} ainda pode ser reduzida. Identificamos o máximo divisor comum (MDC) entre 15 e 90.

• Ambos são divisíveis por 15.
• Numerador: $15 \div 15 = 1$
• Denominador: $90 \div 15 = 6$

Assim, temos:
x = \frac{1}{6}

Verificação Final

Para confirmar, dividimos 1 por 6:

• $1 \div 6 = 0,1$ com resto 4
• $40 \div 6 = 6$ com resto 4
• O processo se repete indefinidamente, resultando em $0,1666...$

A correspondência confirma que o cálculo está correto.

Conclusão

A fração irredutível equivalente ao número decimal $0,1\overline{6}$ é $\frac{1}{6}$.