Reescreva como uma fração simplificada. 0,16̄ = ?

Resposta: A fração simplificada é $\frac{1}{6}$.

Este problema envolve encontrar a fração geratriz de um número decimal misto, onde existe uma parte não periódica antes da repetição infinita.

Determinando a Fração Geratriz

Para transformar $0,1\overline{6}$ em fração, utilizaremos o método algébrico que isola a parte periódica.

Passo 1: Definir a variável

Seja $x$ o valor do número decimal:
$$x = 0,1\overline{6}$$

Isso significa que:
$$x = 0,16666...$$

Passo 2: Multiplicar para deslocar a vírgula

Precisamos criar equações onde a parte decimal após a vírgula seja idêntica para subtrairmos as equações.

1. Multiplique por 10 para levar o primeiro dígito à esquerda da vírgula:
   $$10x = 1,6\overline{6}$$
2. Multiplique por 100 para levar dois dígitos à esquerda da vírgula (incluindo o período):
   $$100x = 16,6\overline{6}$$

Passo 3: Subtrair as equações

Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a parte periódica infinita:

$$100x - 10x = 16,6\overline{6} - 1,6\overline{6}$$
$$90x = 15$$

Passo 4: Isolar $x$

Dividimos ambos os lados por 90:
$$x = \frac{15}{90}$$

Simplificação da Fração

A fração obtida $\frac{15}{90}$ ainda pode ser reduzida. Identificamos o máximo divisor comum (MDC) entre 15 e 90.

• Ambos são divisíveis por 15.
• Numerador: $15 \div 15 = 1$
• Denominador: $90 \div 15 = 6$

Assim, temos:
$$x = \frac{1}{6}$$

Verificação Final

Para confirmar, dividimos 1 por 6:

• $1 \div 6 = 0,1$ com resto 4
• $40 \div 6 = 6$ com resto 4
• O processo se repete indefinidamente, resultando em $0,1666...$

A correspondência confirma que o cálculo está correto.

Conclusão

A fração irredutível equivalente ao número decimal $0,1\overline{6}$ é $\frac{1}{6}$.