Resolva as seguintes desigualdades

Resolução de Desigualdades com Módulo

Análise Geral

Para resolver desigualdades envolvendo módulo (valor absoluto), precisamos considerar os pontos críticos onde as expressões dentro do módulo se anulam. Nestes pontos, o comportamento da função muda.

a) |x - 1| ≤ |x + 1|

Método: Quadrado dos dois lados

Como ambos os lados são não negativos (\geq 0), podemos elevar ao quadrado mantendo a desigualdade:

Expandindo:
x^2 - 2x + 1 \leq x^2 + 2x + 1

Subtraindo x^2 + 1 dos dois lados:
-2x \leq 2x

Solução: x \in [0, +\infty)

b) |x| - |x - 1| < x

Análise por Casos

Pontos críticos: x = 0 e x = 1

Verificação por intervalo:

Intervalo x < 0:

• Resultado: -1 < x
• Interseção com x < 0: x \in (-1, 0)

Intervalo $0 \leq x < 1$:

• Resultado: x < 1
• Interseção com $0 \leq x < 1$: x \in [0, 1)

Intervalo x \geq 1:

• Resultado: x > 1
• Interseção com x \geq 1: x \in (1, +\infty)

Solução: x \in (-1, +\infty) \setminus \{1\} ou x \in (-1, 1) \cup (1, +\infty)

c) |x - 1| + |x - 2| ≤ 3

Análise Geométrica

Esta desigualdade representa a soma das distâncias de x até 1 e até 2.

Análise por Casos

Pontos críticos: x = 1 e x = 2

Resolvendo cada caso:

Intervalo x < 1:
-2x + 3 \leq 3 \Rightarrow -2x \leq 0 \Rightarrow x \geq 0
Interseção: x \in [0, 1)

Intervalo $1 \leq x < 2$:
1 \leq 3 Sempre verdadeiro!
Interseção: x \in [1, 2)

Intervalo x \geq 2:
2x - 3 \leq 3 \Rightarrow 2x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3
Interseção: x \in [2, 3]

Solução: x \in [0, 3]

Resumo Final

Dicas Importantes

• Método do quadrado: Útil quando ambos os lados têm módulo (apenas para \leq ou \geq)
• Análise por casos: Essencial quando há termos diferentes com módulos
• Ponto crítico: Valor que anula o conteúdo do módulo
• Verificar intersecções: A solução deve satisfazer tanto a inequação quanto o intervalo considerado