Resolva as seguintes equações do 2º grau.

Resumo da Resposta

As equações do segundo grau foram resolvidas utilizando diferentes métodos algébricos, incluindo fatoração, extração de raiz quadrada e a fórmula de Bhaskara, resultando nos conjuntos solução indicados abaixo.

Resolução Passo a Passo

Para resolver equações do tipo ax^2 + bx + c = 0, utilizamos técnicas específicas dependendo da forma da equação:

• Item a) $x^2 - 10x = 0$
• Este é um caso de equação incompleta (c=0).
• Colocamos x em evidência: x(x - 10) = 0.
• Para o produto ser zero, um dos fatores deve ser zero:
  x = 0 \quad \text{ou} \quad x - 10 = 0
• Solução: S = \{0, 10\}
• Item b) $4x^2 - 64 = 0$
• Equação incompleta (b=0). Isolamos o termo com x:
  4x^2 = 64
  x^2 = \frac{64}{4}
  x^2 = 16
• Extraímos a raiz quadrada (lembrando de considerar positivo e negativo):
  x = \pm\sqrt{16}
• Solução: S = \{-4, 4\}
• Item c) $2x^2 - 3x + 1 = 0$
• Equação completa. Calculamos o discriminante (\Delta):
  \Delta = b^2 - 4ac
  \Delta = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1
• Aplicamos a fórmula de Bhaskara (x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}):
  x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{3 \pm 1}{4}
• Cálculos finais:
  x' = \frac{3 + 1}{4} = 1
  x'' = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
• Solução: S = \{\frac{1}{2}, 1\}
• Item d) $x^2 - 4x + 4 = 0$
• Calculamos \Delta:
  \Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0
• Como \Delta = 0, há apenas uma raiz real (raiz dupla).
• Fórmula: x = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2.
• Também pode ser fatorado como (x-2)^2 = 0.
• Solução: S = \{2\}
• Item e) $x^2 + 4x - 12 = 0$
• Calculamos \Delta:
  \Delta = 4^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64
• Aplicamos Bhaskara:
  x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}
• Cálculos finais:
  x' = \frac{-4 + 8}{2} = 2
  x'' = \frac{-4 - 8}{2} = -6
• Solução: S = \{-6, 2\}

Análise Conceitual

• Tipos de Equações: Identificar se a equação é completa ou incompleta agiliza a resolução. Equações sem c usam fatoração; equações sem b usam extração de raiz.
• Discriminante (\Delta): O valor de \Delta define a natureza das raízes:
• \Delta > 0: Duas raízes reais distintas.
• \Delta = 0: Uma raiz real (duas iguais).
• \Delta < 0: Nenhuma raiz real.
• Fórmula de Bhaskara: Método universal aplicável a qualquer equação do segundo grau quando a fatoração não é imediata.

Conclusão

As soluções encontradas demonstram a aplicação correta dos métodos algébricos para determinação das raízes de polinômios de segundo grau. É fundamental verificar sempre os sinais ao aplicar a fórmula de Bhaskara e lembrar-se do sinal de \pm nas equações incompletas do tipo ax^2 = k.