Sabe-se que equações diofantinas são equações polinomiais com coeficientes inteiros, em que se deseja encontrar soluções inteiras. Em muitas situações, interessa saber se determinada equação possui solução inteira e, para tanto, utiliza-se o seguinte teorema: seja a, b, c ∈ Z, com a, b ≠ 0. A equação ax+by = c admite solução se e somente se, (a,b)|c. Nesse contexto, verifique quantos são os pares (x,y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 2x+3y = 101, assinalando a alternativa que contém a resposta correta:

Alternativa A - 17

Análise da Resolução

Para encontrar a quantidade de pares de inteiros positivos (x, y) que satisfazem a equação diofantina $2x + 3y = 101$, precisamos seguir os seguintes passos lógicos:

1. Isolamento da Variável

Primeiro, isolamos a variável x para analisar as condições necessárias para que ela seja um número inteiro:
2x = 101 - 3y
x = \frac{101 - 3y}{2}

2. Análise de Paridade

Para que x seja um número inteiro, o numerador (101 - 3y) deve ser divisível por 2, ou seja, deve ser um número par.

• Sabemos que $101$ é um número ímpar.
• Para que a diferença entre dois números seja par, ambos devem ter a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares).
• Como $101$ é ímpar, $3y$ também precisa ser ímpar.
• Isso implica obrigatoriamente que y deve ser um número ímpar.

3. Determinação dos Limites

Como o problema pede inteiros positivos, devemos garantir que x > 0 e y > 0.
Vamos usar a desigualdade para x:
x > 0 \Rightarrow \frac{101 - 3y}{2} > 0
101 - 3y > 0
101 > 3y
y < \frac{101}{3}
y < 33,66...

Portanto, y pode assumir qualquer valor inteiro positivo menor que $33,66$. O maior valor possível para y é $33$.

4. Contagem dos Valores Possíveis

Agora combinamos as duas restrições encontradas para y:

1. y deve ser um número ímpar.
2. y deve estar no intervalo [1, 33].

Os valores possíveis para y formam a seguinte sequência:
\{1, 3, 5, ..., 33\}

Essa sequência é uma Progressão Aritmética (PA) onde:

• Primeiro termo (a_1) = $1$
• Último termo (a_n) = $33$
• Razão (r) = $2$ (pulo entre os ímpares)

Aplicamos a fórmula do termo geral da PA para descobrir a quantidade de termos (n):
a_n = a_1 + (n - 1)r
33 = 1 + (n - 1)2
32 = (n - 1)2
16 = n - 1
n = 17

Concluímos que existem exatamente 17 pares de inteiros positivos que satisfazem a equação.

Conclusão

A alternativa correta é a A.