Sabendo que \[\text{log}\\space 5=0{,}7\] , calcule o valor de \[\text{log}\\space 78125\].

Resolução da Questão

O objetivo deste exercício é utilizar as propriedades fundamentais dos logaritmos para encontrar o valor de uma expressão desconhecida, partindo de um valor conhecido.

A chave para resolver este problema está em perceber que o número 78125 pode ser escrito como uma potência do número 5.

Análise Matemática

Para simplificar o cálculo, devemos decompor o número 78125 em fatores primos ou identificar sua forma de potência. Vamos verificar as potências sucessivas de 5:

Identificamos que:
$$78125 = 5^7$$

Aplicação das Propriedades dos Logaritmos

Com a identificação acima, podemos reescrever a expressão original utilizando a propriedade do logaritmo de uma potência:

$$\text{log}(a^n) = n \cdot \text{log } a$$

Aplicando essa propriedade ao nosso problema:

$$\text{log } 78125 = \text{log }(5^7)$$
$$\text{log } 78125 = 7 \cdot \text{log } 5$$

Sabemos pelo enunciado que $\text{log } 5 = 0,7$. Portanto, substituímos esse valor na equação:

$$\text{log } 78125 = 7 \cdot 0,7$$

Cálculo Final

Realizando a multiplicação simples:

$$7 \cdot 0,7 = 4,9$$

Portanto, o valor procurado é 4,9.