Matemática
Dissertativa
Sabendo que \[\text{log}\\space 5=0{,}7\] , calcule o valor de \[\text{log}\\space 78125\].
Sabendo que
\text{log}\\space 5=0{,}7 , calcule o valor de
\text{log}\\space 78125.
Resolução completa
Explicação passo a passo
Resumo da resposta
Resolução da Questão
O objetivo deste exercício é utilizar as propriedades fundamentais dos logaritmos para encontrar o valor de uma expressão desconhecida, partindo de um valor conhecido.
A chave para resolver este problema está em perceber que o número 78125 pode ser escrito como uma potência do número 5.
Análise Matemática
Para simplificar o cálculo, devemos decompor o número 78125 em fatores primos ou identificar sua forma de potência. Vamos verificar as potências sucessivas de 5:
| Potência | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|
| $5^1$ | $5$ | $5$ |
| $5^2$ | $5 \times 5$ | $25$ |
| $5^3$ | $25 \times 5$ | $125$ |
| $5^4$ | $125 \times 5$ | $625$ |
| $5^5$ | $625 \times 5$ | $3125$ |
| $5^6$ | $3125 \times 5$ | $15625$ |
| $5^7$ | $15625 \times 5$ | $78125$ |
Identificamos que:
78125 = 5^7
Aplicação das Propriedades dos Logaritmos
Com a identificação acima, podemos reescrever a expressão original utilizando a propriedade do logaritmo de uma potência:
\text{log}(a^n) = n \cdot \text{log } a
Aplicando essa propriedade ao nosso problema:
\text{log } 78125 = \text{log }(5^7)
\text{log } 78125 = 7 \cdot \text{log } 5
Sabemos pelo enunciado que \text{log } 5 = 0,7. Portanto, substituímos esse valor na equação:
\text{log } 78125 = 7 \cdot 0,7
Cálculo Final
Realizando a multiplicação simples:
7 \cdot 0,7 = 4,9
Portanto, o valor procurado é 4,9.
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