Se n = a.b, com a e b inteiros positivos, então a ≤ √n ou b ≤ √n. Nesse contexto, analise as afirmações a seguir de tal forma que seja possível demonstrar que tal proposição é verdadeira. Suponhamos que n = a.b e a > √n e b > √n. II. Vamos analisar a: b. b > √n. √n = (√n)² = n o que contradiz a hipótese. III. Portanto, se n = a.b, com a e b inteiros positivos, então a ≤ √n ou b ≤ √n. É correto o que se afirma em:

Alternativa E

A questão apresenta uma demonstração por contradição (ou reductio ad absurdum) de uma propriedade matemática envolvendo números inteiros e raízes quadradas. Para determinar a resposta, devemos verificar se cada etapa do raciocínio lógico está correta.

Análise das Afirmações

O objetivo é provar que: Se n = a \cdot b, então a \leq \sqrt{n} ou b \leq \sqrt{n}.

• Afirmação I: "Suponhamos que n = a \cdot b e a > \sqrt{n} e b > \sqrt{n}."
  Esta etapa inicia corretamente o método da contradição. Para provar que algo é verdadeiro, assumimos que ele é falso. A negação de "ou" (\lor) torna-se um "e" (\land), transformando a desigualdade \leq em >. Portanto, assumir que ambos são maiores que a raiz quadrada é o passo inicial válido.
• Afirmação II: "Vamos analisar a \cdot b: a \cdot b > \sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = (\sqrt{n})^2 = n o que contradiz a hipótese."
  Aqui, realizamos a manipulação algébrica. Multiplicando as duas desigualdades da afirmação I (a > \sqrt{n} e b > \sqrt{n}), obtemos a \cdot b > n. Como sabemos pela hipótese original que n = a \cdot b, chegamos à conclusão absurda de que n > n. Isso confirma que a premissa da afirmação I estava errada.
• Afirmação III: "Portanto, se n = a \cdot b, com a e b inteiros positivos, então a \leq \sqrt{n} ou b \leq \sqrt{n}."
  Esta é a conclusão lógica. Uma vez que a suposição contrária (afirmação I) levou a uma impossibilidade (afirmação II), a afirmação original deve ser considerada verdadeira.

Conclusão

Todas as três etapas formam um argumento lógico completo e correto para demonstrar a proposição. Nenhuma etapa pode ser descartada sem quebrar a cadeia de raciocínio.

Como todas as afirmações estão corretas, a alternativa que agrupa I, II e III é a resposta certa.

Alternativa E