Alternativa C
Vamos analisar cada uma das afirmações feitas sobre a função $f(x) = \sin x$, onde o domínio e o contradomínio são todos os números reais ($\mathbb{R}$).
Análise das Afirmações
- Par ou Ímpar?
- Uma função é par se $f(-x) = f(x)$.
- Uma função é ímpar se $f(-x) = -f(x)$.
- No caso do seno: $\sin(-x) = -\sin(x)$. Portanto, a função seno é ímpar, não par.
- Conclusão: A afirmação 1 é FALSA.
- Periodicidade
- A função seno repete seu comportamento ciclicamente.
- O ciclo completo ocorre a cada $360^\circ$, que equivale a $2\pi$ radianos. Matematicamente, $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$.
- Conclusão: A afirmação 2 é VERDADEIRA.
- Sobrejetividade
- Para ser sobrejetora, o conjunto imagem deve coincidir exatamente com o contradomínio.
- Na questão, o contradomínio é $\mathbb{R}$ (todos os números reais).
- Porém, a função seno só assume valores entre $-1$ e $1$ (Imagem = $[-1, 1]$).
- Como $[-1, 1] \neq \mathbb{R}$, a função não cobre todo o contradomínio.
- Conclusão: A afirmação 3 é FALSA.
- Valores Específicos
- Vamos calcular cada um dos pontos mencionados:
- $f(0) = \sin(0) = 0$ (Correto)
- $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (Correto)
- $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin(90^\circ) = 1$ (Correto)
- Conclusão: A afirmação 4 é VERDADEIRA.
Resumo
As únicas afirmações verdadeiras são a número 2 e a número 4. Isso corresponde à alternativa C.