Seja f : ℝ → ℝ, dada por f(x) = senx. Considere as seguintes afirmações: A função f(x) é uma função par, isto é, fx = f(-x), para todo x real. A função f(x) é periódica de período 2π. A função f é sobrejetora. f(0) = 0, f (π/3) = -√2 e f (π) = 1.

Alternativa C

Vamos analisar cada uma das afirmações feitas sobre a função f(x) = \sin x, onde o domínio e o contradomínio são todos os números reais (\mathbb{R}).

Análise das Afirmações

1. Par ou Ímpar?

• Uma função é par se f(-x) = f(x).
• Uma função é ímpar se f(-x) = -f(x).
• No caso do seno: \sin(-x) = -\sin(x). Portanto, a função seno é ímpar, não par.
• Conclusão: A afirmação 1 é FALSA.

1. Periodicidade

• A função seno repete seu comportamento ciclicamente.
• O ciclo completo ocorre a cada $360^\circ$, que equivale a $2\pi$ radianos. Matematicamente, \sin(x + 2\pi) = \sin(x).
• Conclusão: A afirmação 2 é VERDADEIRA.

1. Sobrejetividade

• Para ser sobrejetora, o conjunto imagem deve coincidir exatamente com o contradomínio.
• Na questão, o contradomínio é \mathbb{R} (todos os números reais).
• Porém, a função seno só assume valores entre -1 e $1$ (Imagem = [-1, 1]).
• Como [-1, 1] \neq \mathbb{R}, a função não cobre todo o contradomínio.
• Conclusão: A afirmação 3 é FALSA.

1. Valores Específicos

• Vamos calcular cada um dos pontos mencionados:
• f(0) = \sin(0) = 0 (Correto)
• f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} (Correto)
• f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin(90^\circ) = 1 (Correto)
• Conclusão: A afirmação 4 é VERDADEIRA.

Resumo

As únicas afirmações verdadeiras são a número 2 e a número 4. Isso corresponde à alternativa C.