Seja f: ℝ → ℝ definida por f(x) = { -x - 1, se x ≤ -1 -x² + 1, se -1 < x < 1 x - 1, se x ≥ 1 , o conjunto imagem de f é dado por:

Alternativa C

Para encontrar o conjunto imagem da função definida por partes, precisamos analisar separadamente o comportamento de cada trecho da função e depois unir os resultados.

Análise Detalhada

A função é dada por:
f(x) = \begin{cases} -x - 1, & \text{se } x \leq -1 \\ -x^2 + 1, & \text{se } -1 < x < 1 \\ x - 1, & \text{se } x \geq 1 \end{cases}

Vamos analisar cada parte:

1. Primeiro Trecho (x \leq -1)

• Fórmula: f(x) = -x - 1
• Comportamento: É uma função afim decrescente.
• Ponto de corte: Quando x = -1, temos f(-1) = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0.
• Tendência: Conforme x diminui (tende a -\infty), -x aumenta (tende a +\infty). Portanto, os valores de y vão de $0$ até +\infty.
• Intervalo da Imagem (Im_1): [0, +\infty[

2. Segundo Trecho (-1 < x < 1)

• Fórmula: f(x) = -x^2 + 1
• Comportamento: É um arco de parábola com concavidade voltada para baixo.
• Vértice: O vértice ocorre em x = 0 (eixo de simetria). O valor máximo é f(0) = -0^2 + 1 = 1.
• Limites: Nas extremidades x \to -1 e x \to 1, o valor tende a $0$ (mas não inclui 0 neste trecho específico, pois o domínio é aberto).
• Intervalo da Imagem (Im_2): (0, 1]

3. Terceiro Trecho (x \geq 1)

• Fórmula: f(x) = x - 1
• Comportamento: É uma função afim crescente.
• Ponto de corte: Quando x = 1, temos f(1) = 1 - 1 = 0.
• Tendência: Conforme x aumenta (x \to +\infty), x - 1 também aumenta (x - 1 \to +\infty).
• Intervalo da Imagem (Im_3): [0, +\infty[

União dos Conjuntos Imagem

O conjunto imagem total da função é a união dos intervalos encontrados em cada trecho:

Substituindo os valores:
Im_f = [0, +\infty[ \cup (0, 1] \cup [0, +\infty[

Como [0, +\infty[ já engloba todos os números maiores ou iguais a zero, a união resulta no mesmo intervalo maior.

Portanto, a alternativa correta é a C.